獨(dú)立學(xué)院微積分教學(xué)中對(duì)微分中值定理的討論

樊艮

【摘要】在微積分中，微分中值定理是學(xué)好導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ)，因而其教學(xué)也顯得尤為關(guān)鍵.探討微分中值定理及其相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)以及怎樣構(gòu)造輔助函數(shù)去解決問題，歷來是獨(dú)立學(xué)院師生所關(guān)注的熱點(diǎn)課題之一.

【關(guān)鍵詞】中值定理；教學(xué)；輔助函數(shù)；獨(dú)立學(xué)院

羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理統(tǒng)稱為微分中值定理.它們是溝通函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)之間的橋梁，是研究函數(shù)性態(tài)的有力工具.微分中值定理對(duì)于獨(dú)立學(xué)院學(xué)《微積分》這門專業(yè)課來說是一個(gè)比較重要但又不容易掌握的章節(jié).很多老師講解完這節(jié)課后學(xué)生仍然不會(huì)解題，這其中一個(gè)重要原因就是在教學(xué)過程中老師只注重傳授給學(xué)生中值定理的內(nèi)容而忽略過程的分析，大多數(shù)教師遵循傳統(tǒng)的教學(xué)方法已經(jīng)形成一種思維定式：教學(xué)生解題時(shí)總是習(xí)慣從已知條件推導(dǎo)待求結(jié)論.顯然這種單一思維方式已經(jīng)不適用于現(xiàn)在微積分特別是獨(dú)立學(xué)院的學(xué)生的學(xué)習(xí)，原因有兩點(diǎn)：一是本節(jié)課理論性強(qiáng)，二是學(xué)生基礎(chǔ)相對(duì)薄弱.如何讓學(xué)生更好地掌握微積分中微分中值定理并有效運(yùn)用，我們針對(duì)教學(xué)中遇到的一些普遍現(xiàn)象經(jīng)過研究摸索得到一些體會(huì)，與大家共同探討.

一、微分中值定理的內(nèi)容

1甭薅（Rolle）中值定理

如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ

2崩格朗日（Lagrange）中值定理

如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，那么在(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ

3笨攣髦兄刀ɡ

如果函數(shù)f(x)及F(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且F′(x)在(a，b)內(nèi)每一點(diǎn)處均不為零，那么在(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ

二、微分中值定理之間的關(guān)系

1甭薅中值定理是拉格朗日中值定理的特例，拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣（即在拉格朗日中值定理中，若f(a)=f(b)，可推出羅爾中值定理）.

2崩格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣（即在柯西中值定理中，若取g(x)=x時(shí)，就可推出拉格朗日中值定理）.

三者的關(guān)系可表示為：

柯西中值定理g(x)=x拉格朗日中值定理f(a)=f(b)羅爾中值定理.

三、教學(xué)體會(huì)

1憊乖旄ㄖ函數(shù)采用啟發(fā)性教學(xué)

由于本節(jié)三個(gè)定理教材已經(jīng)給出了詳細(xì)的證明過程，因此教師在講解過程中就不能照本宣科，而應(yīng)啟發(fā)學(xué)生發(fā)掘證明過程背后的實(shí)質(zhì).例如：用羅爾中值定理去證明拉格朗日中值定理，為什么要構(gòu)造輔助函數(shù)？輔助函數(shù)是怎樣構(gòu)造出來的？又是怎么想到用羅爾中值定理來證明該定理的？針對(duì)這樣的疑問教師可以采用以下順序來引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生.首先，讓學(xué)生比較該定理與羅爾中值定理在內(nèi)容上的異同，特別是結(jié)論上的區(qū)別.羅爾中值定理結(jié)論是“至少存在一點(diǎn)ξ(a<ξ

在分析講解的過程中若能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性，不僅可以鍛煉他們的邏輯思維能力，更能增強(qiáng)他們解決問題的信心，在教學(xué)過程中起到事半功倍的效果.

2苯萄順序

教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，體現(xiàn)在教學(xué)內(nèi)容的具體安排上，即先教什么，后教什么.一堂課的學(xué)習(xí)內(nèi)容必須劃分成若干個(gè)可操作的階段.根據(jù)教育學(xué)家加涅對(duì)教學(xué)目標(biāo)的分類，“微分中值定理”是一堂智力技能學(xué)習(xí)課，它有很強(qiáng)的理論性和操作性.在具體實(shí)施教學(xué)過程中，宏觀上把整堂課按Rolle中值定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理劃分三個(gè)階段，由淺到難，逐步加深.Cauchy中值定理留給學(xué)生自學(xué)，以培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力和學(xué)習(xí)遷移能力.在第一階段我們把學(xué)習(xí)的起點(diǎn)確定在已有的導(dǎo)數(shù)概念和導(dǎo)數(shù)的幾何意義上，在第二階段則把學(xué)習(xí)的起點(diǎn)確定在前面的定理基礎(chǔ)上，而每個(gè)定理的學(xué)習(xí)又分為幾個(gè)階段，并且有相似的教學(xué)組織形式、教學(xué)方法等教學(xué)策略.以Lagrange中值定理為例，教學(xué)過程分為學(xué)生討論階段、教師引導(dǎo)階段和應(yīng)用舉例階段.這三個(gè)階段所完成的主要任務(wù)分別是:探索歸納、形成定理、應(yīng)用形成技能.