借助多元表征提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力

中學(xué)高級(jí)教師，北京市小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人。“2010年中西部農(nóng)村骨干教師遠(yuǎn)程培訓(xùn)”項(xiàng)目課程開(kāi)發(fā)及教學(xué)指導(dǎo)專家。《吳正憲的兒童數(shù)學(xué)教育》一書(shū)的編委，發(fā)表文章20余篇。專著《讀懂學(xué)生，探索適合學(xué)生發(fā)展的小學(xué)數(shù)學(xué)教育》由北京科學(xué)技術(shù)出版社出版

解決問(wèn)題的內(nèi)容分布于小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各個(gè)領(lǐng)域中，是學(xué)生最為頭疼的內(nèi)容之一：有的學(xué)生見(jiàn)到兩個(gè)數(shù)量就進(jìn)行一個(gè)任意的運(yùn)算（加法不對(duì)改減法，減法不對(duì)再換一個(gè)方法）；有的學(xué)生見(jiàn)到一些特定的詞語(yǔ)，就不加思考地選擇算法，諸如見(jiàn)多就加，見(jiàn)少就減；有的學(xué)生雖然經(jīng)歷讀題過(guò)程，但也不能理解題目中的數(shù)量關(guān)系，導(dǎo)致無(wú)從下手……解決問(wèn)題不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，也是教師教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)。

另外，《數(shù)學(xué)》“2011年版課標(biāo)”圍繞關(guān)鍵詞“問(wèn)題”增加了表述“增強(qiáng)能力”的課程目標(biāo)——增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力。并從問(wèn)題解決的視角明確第一學(xué)段的目標(biāo)是：“能在教師的指導(dǎo)下，從日常生活中發(fā)現(xiàn)和提出簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題，并嘗試解決。了解分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一些基本方法，知道同一個(gè)問(wèn)題可以有不同的解決方法。體驗(yàn)與他人合作交流解決問(wèn)題的過(guò)程。嘗試回顧解決問(wèn)題的過(guò)程。”

因此，在教學(xué)中，教師采用什么樣的方式既能解決學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的難點(diǎn)，又能達(dá)成數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，使學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中得到能力的提升？經(jīng)過(guò)認(rèn)真學(xué)習(xí)與思考，我們結(jié)合人教版教材二年級(jí)下冊(cè)第4頁(yè)例1的內(nèi)容，借助多元表征進(jìn)行了嘗試。

一、對(duì)多元表征的理解

問(wèn)題表征是人們?cè)诮鉀Q問(wèn)題時(shí)所使用的一種認(rèn)知結(jié)構(gòu)，具有多種形式。研究表明，問(wèn)題表征的質(zhì)量影響著問(wèn)題解決的難易程度，甚至是問(wèn)題能否成功解決的關(guān)鍵。

關(guān)于數(shù)學(xué)問(wèn)題表征的多元性，目前有多種解釋。其中，美國(guó)心理學(xué)家卡帕特根據(jù)表征系統(tǒng)與被表征系統(tǒng)的關(guān)系，將數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中的表征分為四種類型：認(rèn)知性表征；解釋性表征；數(shù)學(xué)內(nèi)部表征；外部符號(hào)表征。美國(guó)心理學(xué)家葛登認(rèn)為，數(shù)學(xué)問(wèn)題解決涉及五種表征系統(tǒng)：自然語(yǔ)言系統(tǒng)；表象處理系統(tǒng)；形式語(yǔ)言符號(hào)操作系統(tǒng)；執(zhí)行（啟發(fā)式）系統(tǒng)和情感系統(tǒng)。此外，美國(guó)數(shù)學(xué)教育心理學(xué)家萊什從交流的角度將數(shù)學(xué)表征分為以下五種：真實(shí)情境；具體操作；圖形與圖表；語(yǔ)言符號(hào)和書(shū)面符號(hào)。美國(guó)教育心理學(xué)家布魯納提出學(xué)習(xí)的三種表征方式：動(dòng)作的、形象的和符號(hào)的，并認(rèn)為這三者之間存在一種嚴(yán)格的遞進(jìn)關(guān)系。

基于以上觀點(diǎn)，根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，我們認(rèn)為學(xué)生在問(wèn)題解決過(guò)程中有四種表征方式——?jiǎng)幼鞅碚鳌⑿蜗蟊碚鳌⒄Z(yǔ)義表征、數(shù)學(xué)符號(hào)表征。對(duì)二年級(jí)學(xué)生而言，他們雖然有看簡(jiǎn)單情境圖捕捉信息的能力，但從相對(duì)復(fù)雜的情境圖中提取有用信息、把握其數(shù)量關(guān)系有一定困難。在教學(xué)中，利用多種方式幫助學(xué)生表達(dá)自己對(duì)所研究問(wèn)題的理解，可以幫助學(xué)生從較復(fù)雜的情境圖中捕捉有用的信息，把握數(shù)量關(guān)系，形成解決問(wèn)題的思考方法，用解決問(wèn)題策略多樣化應(yīng)對(duì)學(xué)生實(shí)際情況復(fù)雜化，使學(xué)生獲得適合自己的方法。

二、對(duì)二年級(jí)學(xué)生在問(wèn)題解決中表征方式的調(diào)研

二年級(jí)下學(xué)期，學(xué)生第一次接觸用兩步計(jì)算解決問(wèn)題，教材從學(xué)生熟悉的生活情境入手，利用圖像、語(yǔ)義、符號(hào)表征，幫助學(xué)生經(jīng)歷解決問(wèn)題的全過(guò)程，感悟解決問(wèn)題的一般方法，發(fā)展其解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)他們的應(yīng)用意識(shí)。

為了解學(xué)生是如何在讀懂圖意基礎(chǔ)上理解其數(shù)量關(guān)系、探尋解決問(wèn)題的基本方法、檢驗(yàn)所選擇方法正誤的，我們對(duì)學(xué)生進(jìn)行了前測(cè)。分別以靜態(tài)和動(dòng)態(tài)兩種不同方式呈現(xiàn)主題圖（將題目中來(lái)了13人改為來(lái)了8人，其他的不變），讓學(xué)生用自己的方式表示這幅圖的意思。調(diào)研對(duì)象為朝陽(yáng)區(qū)某小學(xué)二年級(jí)兩個(gè)班學(xué)生，人數(shù)分別為32人和31人。調(diào)研結(jié)果如下：

雖然兩種情況下學(xué)生表征情況大體相同，但解決問(wèn)題的策略相差很多。其中動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)情境圖，由于受動(dòng)畫(huà)過(guò)程干擾，解決問(wèn)題的思路比較單一；靜態(tài)呈現(xiàn)情景圖，有利于學(xué)生能從不同的視角觀察、理解圖意，解決問(wèn)題的思路，有2至3種。

基于以上的學(xué)情調(diào)研，我們將課堂教學(xué)中靜態(tài)呈現(xiàn)情境圖讓學(xué)生用自己喜歡的方式表達(dá)對(duì)圖意的理解，在借助多元表征進(jìn)行問(wèn)題解決的過(guò)程中，幫助他們經(jīng)歷解決問(wèn)題的全過(guò)程，感受解決問(wèn)題的基本方法，提升解決問(wèn)題的能力。

三、借助多元表征提高學(xué)生解決問(wèn)題能力

1.借助多元表征提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。由于這是學(xué)生第一次正式接觸問(wèn)題解決的題目，文字多、圖畫(huà)美、信息雜，給正確、迅速理解要解決的問(wèn)題增加了難度，特別是中等、偏下學(xué)生，清楚知道已知信息是什么，要解決的問(wèn)題是什么，是問(wèn)題解決時(shí)遇到的第一個(gè)難點(diǎn)。在教學(xué)時(shí)，可借助運(yùn)用幾種表征形式，幫學(xué)生從日常生活中發(fā)現(xiàn)條件與要解決問(wèn)題之間的關(guān)系，并提出簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題，以提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力。

（1） 墊基礎(chǔ)——溝通教材中圖像表征和文字表征間的聯(lián)系。

師：“原來(lái)有22人在看戲”這句話是什么意思，指的是圖中的哪部分人，請(qǐng)你到前面指一指。（學(xué)生指，教師在學(xué)生指的基礎(chǔ)上把看戲的22人用紅圈圈起來(lái)。）

師：“我們也來(lái)看戲”這句話是什么意思，在圖中是哪部分人，請(qǐng)你到前面指一指。（學(xué)生指，教師在學(xué)生指的基礎(chǔ)上把又來(lái)看戲的13人用紅圈圈起來(lái)。）

師：“現(xiàn)在看戲的有多少人” 這句話是什么意思，指的是圖中的哪部分人，你是怎么知道的，請(qǐng)你到前面指一指。（幫助學(xué)生明白現(xiàn)在看戲的有多少人是我們要解決的問(wèn)題，懂得現(xiàn)在看戲的有多少人是走了一部分人又來(lái)了一些人的時(shí)候，教師在學(xué)生指的基礎(chǔ)上把現(xiàn)在看戲的人用藍(lán)圈圈起來(lái)。）

師：這部分人（教師指虛線畫(huà)的6人），屬不屬于現(xiàn)在看戲的人？（再確認(rèn)圖與要解決問(wèn)題之間的關(guān)系。）

在溝通教材圖中文字、圖像之間關(guān)系的過(guò)程中，學(xué)生不僅知道題目中每句話的意思，還知道圖與文字間是有密切關(guān)系的，為把生活問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題奠定基礎(chǔ)。

（2）明結(jié)構(gòu)——將生活問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題。

在充分理解教材圖中文字、圖像表征間的相互關(guān)系后，借助“請(qǐng)你用自己的語(yǔ)言敘述這幅圖的含義”的設(shè)問(wèn)，讓學(xué)生經(jīng)歷把所要解決的問(wèn)題再內(nèi)化、再梳理、再理解的過(guò)程；借助“請(qǐng)你用自己的語(yǔ)言邊說(shuō)邊用手勢(shì)敘述這幅圖的含義——個(gè)人說(shuō)、小組說(shuō)、集體說(shuō)”的設(shè)問(wèn)，通過(guò)同伴間的互助，通過(guò)動(dòng)作表征對(duì)題目的理解，明白所抽象出的數(shù)學(xué)問(wèn)題：原來(lái)有22人在看戲，走了6人，又來(lái)了13人，現(xiàn)在有多少人在看戲？

2.借助多元表征提高學(xué)生分析和解決簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。在學(xué)生基本理解情境圖的基礎(chǔ)上，教師要讓他們用自己喜歡的方式表達(dá)對(duì)題目的理解，并讓別人看清楚。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生用圖像、符號(hào)、文字等多種方式表達(dá)自己對(duì)題目的理解與思考，教師就更應(yīng)幫其對(duì)所研究的問(wèn)題再思考、再認(rèn)識(shí)，并在寫(xiě)、畫(huà)的基礎(chǔ)上提問(wèn)：“誰(shuí)讀懂他的想法了？”“他的圖表達(dá)什么意思，誰(shuí)能給我們說(shuō)明白？”借助這些研討性問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷讀懂、傾聽(tīng)、交流的過(guò)程，感受不同問(wèn)題解決的思維路徑，獲得更多的問(wèn)題解決的策略、方法，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。下面以一個(gè)教學(xué)片段為例，詳細(xì)闡述我們的做法以及背后的思考。

師：（出示學(xué)生作品）這是我們班某個(gè)學(xué)生的想法，請(qǐng)你認(rèn)真讀懂他的想法，用自己的語(yǔ)言把他的想法表達(dá)清楚。

生：這個(gè)同學(xué)畫(huà)了一個(gè)大圈表示原來(lái)有22人在看戲，在大圈上畫(huà)了一個(gè)小圈和向外走的箭頭，表示這6個(gè)人走了，不再看戲了，在大圈的左邊也畫(huà)了一個(gè)圈，有一個(gè)向里的箭頭，表示后來(lái)的13個(gè)人，問(wèn)題是走了6人，來(lái)了13人的時(shí)候有多少人在看戲。

師：說(shuō)得真好，誰(shuí)能把這個(gè)想法再給我們說(shuō)說(shuō)。

師：除了有人用圖表達(dá)了自己的想法，還有人用了算式（符號(hào)表征），為了敘述方便，我們分別做個(gè)標(biāo)記：

（1）22＋13＝35（人）35－6＝29（人）

（2）22－6＝16（人）16＋13＝29（人）

（3）13－6＝7（人） 22＋7＝29（人）

這3組算式和這個(gè)學(xué)生的圖、和我們要解決的問(wèn)題有關(guān)系嗎？有什么關(guān)系？誰(shuí)能解釋解釋。

生：其實(shí)他們是用算式表達(dá)了圖的意思，所表達(dá)的也是我們要解決的問(wèn)題的意思：

第（1）組算式表示的意思是原來(lái)有22人在看戲，來(lái)了13人，走了6人后，有29人，他是按照先來(lái)后走的意思表示要解決的這個(gè)問(wèn)題的。

第（2）組算式表示的意思是原來(lái)有22人在看戲，走了6人，來(lái)了13人后，有29人，他是按照先走后來(lái)的意思表示要解決的這個(gè)問(wèn)題的。

第（3）組算式表示的意思是原來(lái)有22人在看戲，假設(shè)這部分人不動(dòng)，把走的6個(gè)人看成是從來(lái)的13個(gè)人中走的，也可以表示要解決的這個(gè)問(wèn)題。

通過(guò)這個(gè)片段我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在讀懂他人的思維并用語(yǔ)言準(zhǔn)確表達(dá)的過(guò)程中，不僅能借助一種表征方式尋求與之對(duì)應(yīng)的另三種表征方式，進(jìn)一步理解四種表征方式的意義以及四種表征方式之間的關(guān)系，感受各種表征方式間的同與不同，獲得適合自己的表征方式，還了解了分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一些基本方法，知道同一個(gè)問(wèn)題可以有不同的解決方法。同時(shí)也體驗(yàn)了與他人合作交流解決問(wèn)題的過(guò)程。

總之，借助教材中的圖、文表征溝通它們之間的關(guān)系，借助學(xué)生的作品（圖像表征）、算式（符號(hào)表征）、動(dòng)作（操作標(biāo)準(zhǔn)）、語(yǔ)言（文字表征）進(jìn)行的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，拉長(zhǎng)了學(xué)生理解情境圖、感悟數(shù)量之間關(guān)系的過(guò)程，經(jīng)歷了將一些生活問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，突破了問(wèn)題解決的難點(diǎn)。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生不僅感受到數(shù)學(xué)知識(shí)的現(xiàn)實(shí)性，還初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度觀察、發(fā)現(xiàn)、分析、解決實(shí)際問(wèn)題，獲得問(wèn)題解決的基本方法，培養(yǎng)了應(yīng)用意識(shí)，提高了發(fā)現(xiàn)和提出簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，分析和解決問(wèn)題的能力。（作者單位：北京市朝陽(yáng)區(qū)教育研究中心）■

□責(zé)任編輯 孫恭偉

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