幾何直觀教學的理性思考

《數學》“2011年版課標”指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。”在這里把用圖形描述事物和分析問題解讀為幾何直觀，除了傳承過去用直觀圖表示生活現象和呈現數量關系以外，我們認為還包括了如下一些數學教育性的意義。

一、幾何直觀是一種國際化視野

在當前提倡個性化和國際化的多元社會背景中，國際社會的日常交往除了需要特殊的產品創造和個性化文化特征的相互欣賞與借鑒外，更多的還要尋找利益的互惠和群落的共生。營造和諧安全的國際生存空間和豐富繁榮的文化交流氛圍，是世界人民的共同愿望。我們的數學教育也就需要有這樣的意識和策略。如果我們的數學教育過多的只關注人類的個性化，就會造成“我懂你不懂”的現象，在網絡化的讀圖時代就不能迅速獲得新信息，研究新問題，從而造成認識產品的落后現象。

目前，很多產品的說明書、許多領域的學術交流等，除了沿用過去的把各國文字印刷上去以外，更多的做法是用圖形標注與說明。這樣就能使識字和不識字的人都能盡量多把握一些信息，盡快掌握產品使用方法，加快對研究問題的交流。

比如一張學術報告圖片和一張路由器說明書，將事件或者結構簡潔清晰地展現在讀者面前。如果單靠文字說明，無論用哪國語言，都無法做到全面、清晰和快速傳遞信息。

在日常教學中，比如介紹關于加法的意義，中文說：“Ba liang ge shu he bing cheng yi ge shu de yun suan.(把兩個數合并為一個數的運算)。”英文說：“The two numbers are combined into a number of operations.”韓語說：“■ ■.”日語說：“つの數を合併して１つの數の演算.”這樣的語音或者文字式的解釋，只要從一個國家到另一個國家，或者一個民族到另一個民族，就很難讓人互相聽懂，更不要說明白其內涵。但是，運用幾何直觀思想，采用圖形或者符號（如圖2），就很容易溝通或者理解其含義。

因此，數學上運用圖文互補的教育，不僅是一種技術手段或者教學策略，而且是一種開放化的胸懷和國際化的視野。

二、幾何直觀是一種數學化思維

蔣文蔚先生指出：“幾何直觀是一種思維活動，是人腦對客觀事物及其關系的一種直接的識別或猜想的心理狀態。”這給了人們一種理念上的拓展，即幾何直觀不只是事物的形象化呈現和形式化演示，而是上升為一種思維方式。在數學學習和運用的過程中，幾何直觀具有非常重要的價值。“新課標”指出：“幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。”

我們認為，從思維的角度認識幾何直觀價值主要有兩個，一是數學的幾何化抽象，二是數學模型化抽象。因為必須運用幾何直觀的思維方式，才可以通過數學抽象的方式建立起事物之間的真實聯系。如點動成線、線動成面和面動成體的運動幾何現象，很多人理解起來很成問題。學生大多數不會累積思考圖形運動過程。教學點動成線的時候，如果我們讓學生從近處看一輛汽車行駛，再讓他從遠處看一輛汽車行駛，他會有一種什么樣的感覺呢？學生就會說：汽車小得像螞蟻，一丁點兒大了。這樣學生會對點的運動建立直觀聯系，然后聯想到一個點的東西照樣會運動，甚至很快地運動。因而，教師可以讓學生用筆尖點在白紙上將其像看到的汽車行駛一樣的移動起來，就會看到運動的路線。汽車跑過就過了，但是運動路線卻可以通過畫圖的形式把路線記錄下來。

我們在醫院看心電圖、腦電圖，發現都是運用精密儀器記錄的大腦和心臟的電流運動情況。如果單憑想象，誰也無法瞬間憑感覺了解這些情況的。這些常識，在科技領域里運用很廣泛，但是要普及到一般的中小學生，就需要用數學抽象的方法才能實現。

數學的模型化抽象，很大程度上都是指概念性的認識。過去我們講了很多關于數形結合的思想，今天來看就與幾何化的數學模型抽象有關。比如有關整數、小數和分數等模型的建立，往往采用幾何化抽象來建立。

一千二百四十三 八分之三 零點一和零點零五

幾何圖形的認識，也需必要的典型化抽象。比如：直線的平行與垂直的關系建立，很大程度上依賴幾何化的線性抽象（如圖7）。

學生通過這樣數學化認知，建立起抽象的數和形的幾何性概念模型，才可以借助它們進行邏輯性的判斷與推理。

三、幾何直觀是一種哲學化策略

由于人類歷史上信息傳播在視覺直觀上比較困難，人們長期認為思維是純抽象的，是以語言文字為載體的內心活動。很多學者認為，人類思維必須借助語言和文字才能實現，在教學中表現為即使學生不出聲地對文章進行默讀，人腦的神經系統也會以語言為載體接受、存儲、調集、判斷、反饋龐大的信息流。這種認識導致了我國數學教育大量的以聽、抄、背為主的學習方式，將實踐、探究、合作的學習方式和經歷、體驗等數學學習活動拒之門外。

現在，隨著影視技術和多媒體技術的介入，在網絡、出版和教學方面，以直觀性為主的讀圖時代已經到來。大型展演、高速交流和海量學習，都需要快速度閱讀和直觀性瀏覽。過去那種對文字精品細讀和字斟句酌的閱讀習慣逐漸受到大容量和高速度信息的威脅。因此，我們的數學教育需要一個將人們的認知方式從哲學層面把思維方式來一個圖形化的提升，即過去以讀文字和聽語音信息吸納方式擴展到語言、文字和圖形并行的多元信息吸納方式，以適應當前乃至今后一段時期的學習需要。

如今很多學生認為數學難學，常常產生厭學情緒，很大程度上就是因為我們數學教育中的信息傳播方式不適應學生認知習慣。因為目前的影視技術和網絡、多媒體技術的介入，直觀閱讀和直觀思維，占據了學生的大部分頭腦。因此，《數學》“2011年版課標”指出：“借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。”這里明確告訴我們，數學教育也需要具有幾何意義的直觀化。因此，我們在備課時，除了考慮數學問題生活化的時候，不要忘記數學問題需要帶有幾何元素的直觀化思考。（作者單位：四川省成都市龍泉驛區教育研究培訓中心）■