巧旋轉(zhuǎn) 妙解題

初中幾何有三種基本變換：平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)。我們列舉幾例來巧妙解題，供大家參考。

1.如下圖，已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，△BDC是為120°的等腰三角形，以點D為頂點作一個60°的角，角的兩邊分別交AB于點M，交AC于點N，連接MN，形成一個三角形。

求證：△AMN的周長等于2。

簡證：將△DCN繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)120°至△DBE，

則△DCN≌△DBE，

∴CD=BD，DN=DE，CN=BE，∠CDN=∠BDE，

∵∠BDC=120°，∠MDN=60°，

∴∠CDN+∠MDB=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，

∴∠MDE=∠BDE+∠MDB=∠CDN+∠MDB=60°，

∴∠MDN=∠MDE。

在△MDN和△MDE中，

∵DN=DE，

∠MDN=∠MDE，

MD=MD，

∴△MDN≌△MDE，

∴MN=ME，

∴MN=ME=MB+EB=MB+CN，

∴△AMN的周長=AM+MN+AN=AM+MB+CN+AN=AB+AC=1+1=2。

2.如下圖，點O為等邊△ABC內(nèi)一點，∠AOB=110°，∠BOC=135°，試問：（1）以0A，0B，OC為邊，能否構(gòu)成三角形？若能，請求出該三角形各內(nèi)角的度數(shù)；若不能，請說明理由。（2）如果∠A0B大小保持不變，那么當(dāng)∠BOC等于多少度時，以0A，0B，0C為邊的三角形是直角三角形？

簡解：（1）以0A，0B，OC為邊，能構(gòu)成三角形。

∵△ABC為等邊三角形，

∴ AB=AC，∠BAC=60°，

將△AOB繞點A旋轉(zhuǎn)至△AEC，則△AOB≌△AEC，

∴EC=0A，AE=AO，∠CAE=∠BAO，

∴∠OAE=∠OAC+∠CAE=∠0AC+∠BAO=∠BAC

即∠0AE=60°，連接OE，

則△OAE是等邊三角形，

∴OE=OA，

由△OCE知：以0A，0B，OC為邊，能構(gòu)成三角形。

∵∠AOC=360°-∠AOB-∠BOC=360°-110°-135°=115°，

∴∠EOC=∠AOC-∠AOE=115°-60°=55°，

∠OEC=∠AEC-∠AEO=∠AOB-∠AEO=110°-60°=50°，

∠ECO=180°-55°-50°=75°。

∴所求三內(nèi)角依次為55°、50°、75°。

（2）∵∠AOB不變，∴∠AEC、∠OEC不變，由（1）知：∠OEC=50°，兩種情形：若∠EOC=90°，則∠AOC=90°+60°=150°，此時∠BOC=360°-110°-150°=100°；若∠ECO=90°，則∠EOC=40°，∠AOC=60°+40°=100°，∠B0C=360°-110°-100°=150°。∴當(dāng)∠B0C=100°或150°時，以O(shè)A，OB，OC為邊的三角形是直角三角形。

以上兩例，均是利用了圖形的巧妙旋轉(zhuǎn)，才有了解題的思路和方法。若非如此，你是否還有更好的解題方法？請大家分享！

（作者單位 河南省濮陽市油田第八中學(xué)）