構建函數模型 解決實際問題

利用函數構建數學模型解決實際問題是近幾年中考的一個熱點題型，是實踐性、創新性很強的命題亮點，其解題步驟一般如下：

實際問題 構建數學模型（如函數等） 解答數學問題 回歸實際問題，這也是解答此類問題的關鍵。

下面重點談談二次函數模型的構建。

例：（2009·湖北武漢）某商品的進價為每件40元，售價為每件50元，每個月可賣出210件，如果每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣10件（每件售價不能高于65元），設每件商品的售價上漲x元（x為正整數），每個月的銷售利潤為y元。

（1）求y與x的函數關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍。

（2）每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大的月利潤為多少元？

（3）每件商品的售價定為多少元時，每個月的月利潤恰為2200元？根據以上結論，請你直接寫出售價在什么范圍時，每個月的利潤不低于2200元？

分析：本題旨在考查如何建立函數關系式，一元二次方程的基本解法及二次函數最值的確定。首先要將（1）中的函數關系式寫出來（即建立函數模型）；然后再根據自變量的取值范圍及二次函數的頂點求最大的月利潤、售價及其范圍。

解：（1）y=（210-10x）（50+x-40）

=-10x2+110x+2100（0

（2）y=-10（x-5.5）2+2402.5

因為a=-10<0，所以當x=5.5時，y有最大值2402.5

因為0

當x=5時，50+x=55，y=2400（元）

當x=6時，50+x=56，y=2400（元）

所以每件商品的售價定為55元或56元時，每個月的利潤最大，最大的月利潤為2400元。

（3）當y=2200時，-10x2+110x+2100=2200

解得：x1=1，x2=10

所以當x=1時，50+x=51，當x=10時，50+x=60

所以每件商品的售價定為51或60元時，每個月的利潤為2200元。

當售價不低于51元且不高于60元且為整數時，每個月的利潤不低于2200元。

點評：解答此類問題時應注意：理清題意，確定變量，建立函數模型；將已知條件代入函數模型，利用函數的性質解決問題；將獲得的結果還原到實際問題中；當自變量的取值限制在一定范圍內（或附帶其他限制條件時），最值不一定在x=- 處取得，基于這一點，大家一定要注意。

（作者單位 四川省巴中二中）