由課本習(xí)題引發(fā)的思考

高考命題組的總結(jié)：“相當(dāng)數(shù)量的試題都源于課本的例題、習(xí)題，或稍加改造，或做拼合，常規(guī)題型、常見(jiàn)思路、常用的方法在試卷占了主題地位，突出了基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和方法的考查。”很多高考題和模擬卷上的題有很多題都是課本習(xí)題的變式，尤其是在書后探究拓展、思考運(yùn)用部分出現(xiàn)的頻率更高，所以本人通過(guò)課本習(xí)題說(shuō)明常見(jiàn)的構(gòu)造圖形法。

如，蘇教版必修2第62頁(yè)第18題：

【原題】設(shè)P，A，B，C是球O表面上的四點(diǎn)；PA、PB、PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=1，求球的表面積及體積。

對(duì)于此題本身，由于大部分學(xué)生對(duì)于空間立體的想象比較欠缺，解決起來(lái)有一定的困難，由于球本身就是空間的圖形，不好在平面上畫出，里面還有幾條互相垂直的線，不容易找到球心與一已知量之間的關(guān)系，因而很多學(xué)生對(duì)于此只能望而卻步，但如果我們能從題目本身的特點(diǎn)和條件入手構(gòu)造常見(jiàn)的圖形，從而很容易解決此問(wèn)題。

【分析】此題可看作球O內(nèi)接正方體PBGC-ADEF中，因?yàn)镻A，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=1，即以PA，PB，PC為三條相鄰的棱補(bǔ)一個(gè)正方體，這就是在原圖形的基礎(chǔ)上根據(jù)題設(shè)條件，在構(gòu)造出一個(gè)正方體，此時(shí)正方體一定在原球內(nèi)，并且正方體的對(duì)角線為球的直徑。

解：原問(wèn)題可視作球O內(nèi)接正方體PBGC-ADEF，PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=1，因此球的直徑為 ，此時(shí)半徑為 ，V球= π·（ ）3= π，S球=4π·（ ）2=3π。

【變1】三棱錐P-ABC中，側(cè)棱兩兩互相垂直，且長(zhǎng)為1，求三棱錐外接球的體積。

【解析】此問(wèn)題與解法一樣，只是不同的問(wèn)法。

【變2】一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都是 ，四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則此球的表面積為多少？

【解析】此題與上面兩問(wèn)題稍有所不同，但主體思想一樣，采用構(gòu)造圖形法。由于已知的一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都相等，所以想到正方體的特點(diǎn)，正方體的面對(duì)角線有四個(gè)相等，因而在四面體外補(bǔ)成一個(gè)正方體，此時(shí)正方體的對(duì)角線就是四面體的邊長(zhǎng)，而正方體的外接球就是四面體的外接球，從而球的半徑很容易求得。

【變3】在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E為AB的中點(diǎn)，將△ADE與△BEC分別沿ED，EC向上折起，使A，B重合于點(diǎn)P，則三棱錐P-DCE的外接球的體積______。

【解析】此題由已知條件可得三棱錐P-DCE是正四面體，且所有棱長(zhǎng)為1，方法同變式2，補(bǔ)一個(gè)正方體，外接球的直徑為正方體的對(duì)角線。

構(gòu)造圖形法在高中數(shù)學(xué)中有相當(dāng)廣泛的應(yīng)用，通過(guò)上面的實(shí)例會(huì)發(fā)現(xiàn)應(yīng)用構(gòu)造圖形法解決起來(lái)十分容易，關(guān)鍵是如何構(gòu)造，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)也是一個(gè)難點(diǎn)，也就是如何把條件和要證或計(jì)算的量聯(lián)系起來(lái)，在這一點(diǎn)上首先要認(rèn)真分析已知條件的特點(diǎn)和關(guān)系式與求的關(guān)系式的聯(lián)系，再結(jié)合常見(jiàn)的構(gòu)造圖形，問(wèn)題就可以解決，本人只是通過(guò)課本習(xí)題將在教學(xué)中構(gòu)造圖形法兩個(gè)角度拋磚引玉。

（作者單位 江蘇省淮安市盱眙縣都梁中學(xué)）