Duffing型隔振的力傳遞率及跳躍現象的理論分析

張小龍，東亞斌

(西安建筑科技大學 機電工程學院，西安 710055)

Duffing型隔振的力傳遞率及跳躍現象的理論分析

張小龍，東亞斌

(西安建筑科技大學 機電工程學院，西安 710055)

針對隔振器中普遍存在的非線性特性，以立方非線性恢復力作用的單自由度隔振系統為例，用諧波平衡法求解非線性隔振系統固有頻率附近的主共振響應，根據Routh－Hurwitz穩定性判定定理，從理論上說明主共振響應的幅頻特性曲線族上垂直切線點的軌跡曲線所包圍的區域為不穩定區域。推導出了隔振系統跳躍頻率和力傳遞率的計算公式。計算表明隔振系統力傳遞率出現跳躍、滯后、以及穩定和不穩定現象，且隔振傳遞力中的高頻諧波分量的影響很小。隔振系統的阻尼、非線性恢復力系數和激勵幅值對共振區域的力傳遞率有影響，對頻率低于共振頻率區域的力傳遞率沒有影響，其中僅阻尼對頻率高于共振頻率區域的力傳遞率有影響。還給出了力傳遞率小于1的起始頻率計算公式。

非線性隔振;力傳遞率;穩定性;跳躍現象

為了盡可能減小機械或結構的振動傳遞到基礎，隔振技術在工程中已經得到了廣泛應用。設計線性隔振器時，為了降低力傳遞率，希望隔振系統具有較低的固有頻率，致使隔振系統剛度降低，特別是在垂直隔振的情況下，設備自重會引起難以接受的大變形［1］。為了克服此缺點，可以使用非線性隔振系統［1］，并設計開發出了多種形式的非線性隔振裝置［1－8］。另外，常用的鋼絲繩隔振器、空氣彈簧隔振器等，也具有明顯的非線性特性。

陳泳斌等［9］應用增量諧波平衡法研究了非線性隔振系統的運動響應及軟彈性和硬彈性對隔振傳遞率的影響。陳安華等［10－11］通過理論分析和數值計算研究了非線性隔振系統的響應。周一峰等［12－13］用能量迭代法研究非線性隔振系統響應，并分析了隔振系統的傳遞率。Carrella［14］近似分析了高靜剛度和低動剛度(High－Static－Low－Dynamic－Stiffness，HSLDS)非線性隔振系統的最大響應和跳躍頻率。以上研究基本采用Duffing方程描述非線性隔振系統的運動，尚未見到關于非線性振動的跳躍現象和滯后現象對隔振傳遞率影響的研究。

當激勵頻率連續變化時，非線性隔振器在固有頻率附近的主共振響應的幅值會出現不連續變化，發生跳躍和滯后現象，理論得出的響應還有穩定與不穩定之分。因此在非線性隔振器中根據響應理論計算力傳遞率時，必須考慮響應的這些特性。

本文以立方非線性恢復力(硬彈簧特性)作用的單自由度隔振系統為例，假設系統的振幅和相位角為時間的慢變函數導入諧波解，根據諧波平衡法將系統非自治的運動方程式轉化為自治的方程式，并據此方程式求解主共振響應，以及由Routh－Hurwitz定理判定每個周期解的穩定性。分析了下跳躍點與最大振幅點的差異及系統阻尼對跳躍頻率的影響。研究了兩種力傳遞率的計算方法及力傳遞率小于1的起始頻率計算方法，分析了隔振系統主要參數對力傳遞率和力傳遞率小于1的起始頻率的影響規律等。

1 隔振系統運動分析

1.1 運動方程式及周期解

非線性隔振系統模型如圖1所示，設在質量為m的設備上作用有激勵力f(t)=P0cosωt，隔振器的黏性阻尼系數為c，線性與三次非線性恢復力的系數分別為 k和 β，設備m的運動方程式為：

圖1 具有非線性恢復力的隔振系統Fig.1 Vibration isolation systemwith nonlinear restoring force

其中：n為衰減系數，p為無阻尼固有頻率，且2n=c/m，p2=k/m，ε=β/m，P=P0/m。設 μ表示微小參數，用O(μ)表示與μ同階大小的量。假設方程(2)在ω≈p附近的主共振響應為：

另外假設相對于外力的變化cosωt，式(3)中振幅A(t)和相位角δ(t)是隨時間緩慢變化的周期量，即相當于假設A(t)，δ(t)是具有O(μ0)大小的量)是具有O(μ)大小的量，而是具有O(μ2)大小的量［15］。φ(t)表示大小為 μ 程度的高頻響應項。考慮現實中阻尼比較小，所以2n為具有O(μ)大小的量。按O(μ)精度計算求解，將假設解(3)代入式(2)，得：

式(4)中的省略號…代表角頻率為ω、大小為O(μ2)以上的小量和大小為O(μ)以上的高頻振動項。比較式(4)兩邊 cos(ωt－δ)，sin(ωt－δ)的系數得：

方程(5)在線性固有頻率p附近可以近似代替原方程(2)。為了求出周期解，令 A，δ為常數 A0，δ0，由式(5)得：

1.2 周期解的穩定性分析

為了分析由式(6)所確定的周期解x=A0cos(ωtδ0)的穩定性，引入擾動變量 ξ=A －A0，η =δ－ δ0，其中ξ，η為具有O(μ)大小的小量。代入方程式(5)，得到下式：

對式(7)進行微分，令求出的dω/dA0=0就得到(17)式左邊項等于零的方程式，該方程式是幅頻特性曲線族上具有垂直切線的點的軌跡方程。所以在幅頻特性曲線族上，由具有垂直切線的點的軌跡所包圍的區域內的響應全部不穩定。根據關系式(8)，式(17)變為：4ζ2λ2+(1 － λ2+ β0X20)(1 － λ2+3β0＞ 0 (18)非線性項系數β0大小變化時的幅頻特性曲線如圖2所示，激勵力幅值Q大小變化時的幅頻特性曲線及其穩定與不穩定區域如圖3所示。

1.3 跳躍頻率計算

跳躍頻率(設上跳頻率為λu、下跳頻率為λd)及其振幅完全取決于幅頻特性曲線方程(9)中的Q，ζ，β0值。關于跳躍點，Carrella［14］和 Brennan［16］將式(11)、式(12)確定的最大振幅點作為下跳點，同時認為阻尼比ζ對上跳頻率影響不大，所以在式(10)中取ζ=0，通過解方程dλ/dX0=0得出上跳點的振幅，再將該振幅代入式(10)求出上跳頻率。事實上，下跳點并不是振幅最大點，根據式(9)計算的兩者差異如圖4所示。阻尼比不同時上跳頻率也不同，根據式(9)計算的ζ的影響如圖5所示。

為了計算跳躍點的頻率和振幅，令式(18)左邊等于零后，與式(9)聯立求解，得出計算跳躍頻率的方程為：

代入Q，ζ，β0值，求出的實數解就是跳躍頻率λu和λd，具體例子如圖2至圖5所示。再將λu和λd代入式(9)就可以得到跳躍點的振幅值。

2 隔振效果分析

2.1 力傳遞率

隔振器取得的隔振效果，即隔振系統對動態力的消減程度，常用無量綱的力傳遞率來表示。對圖1所示的隔振器，力傳遞率是指傳遞到基礎上的力的幅值與設備上激勵力的幅值之比。圖1中設備m的響應為x=A0cos(ωt－δ0)，其中 A0，δ0滿足式(6)，通過非線性彈簧和阻尼器傳遞到基礎的力為：

上式中令β0=0可得線性隔振系統的力傳遞率計算式。把式(9)確定的幅頻特性曲線數據，即圖2和圖3的數據代入式(23)得出的力傳遞率如圖6及圖7所示。

為了考慮式(20)中的高頻部分對力傳遞率的影響，根據周期量均方根(Root Mean Square)的意義，定義以平均功率之比的形式表示的力傳遞率為［2，9，17］

根據式(25)計算得出的力傳遞率Trp隨激勵頻率變化的曲線如圖8、圖9所示。

比較圖6與圖8、圖7與圖9，可以看出傳遞力中的高次諧波分量對力傳遞率的影響，無論在數值上還是在變化規律上均很小，所以實際計算力傳遞率時可以不考慮傳遞力中的高次諧波成分，按照公式(23)計算即可。而且當激勵頻率連續變化時，由于幅頻特性曲線發生跳躍和滯后現象，所以力傳遞率也相應發生類似的跳躍和滯后現象，并存在不穩定的情況，跳躍點的頻率與幅頻特性曲線的跳躍點頻率相同。與線性隔振系統相似，在低頻區域(頻率小于共振頻率的區域)隔振系統不起隔振作用，在共振區域隔振系統放大了激勵。只有在高頻區域(頻率大于共振頻率的區域)，隔振系統才能夠發揮隔振作用。非線性系數β0和激勵幅值Q幾乎對低頻區域和高頻區域的力傳遞率沒有影響，但對共振區域的力傳遞率有影響。

阻尼比ζ對力傳遞率的影響如圖10所示，可以看出阻尼比ζ對低頻區域的力傳遞率沒有影響，但對共振區域和高頻區域的力傳遞率有影響。阻尼比越小，高頻區域的力傳遞率越低。

圖8 非線性項系數對力傳遞率的影響(考慮高次諧波)Fig.8 The effect of the nonlinear term coefficient on the force transmissibility(considering the high frequency harmonic)

圖9 激勵力幅值對力傳遞率的影響(考慮高次諧波)Fig.9 The effect of the excitation force amplitude on the force transmissibility(considering the high frequency harmonic)

圖10 阻尼比對力傳遞率的影響Fig.10 The effect of the damping ratio on the force transmissibility

2.2 力傳遞率Tr＜1的起始頻率

為使隔振系統起到隔振作用，聯立(9)、(23)式，求解得到計算力傳遞率Tr＜1的起始頻率值的方程為：

式(26)中令β0=0即可得出線性隔振系統中力傳遞率Tr＜1的起始頻率比為 λ =，該頻率比值與 ζ，Q無關。而對于β0≠0的非線性隔振系統，該頻率比值由ζ和β0Q2決定，其關系如圖11、圖12所示。

由圖11、圖12可以看出，傳遞率Tr＜1的起始頻率值隨阻尼的增大而減小，隨β0Q2的增大而增大。

3 結論

本文在分析非線性隔振系統的主共振響應、穩定性及跳躍頻率的基礎上，研究了隔振系統力傳遞率的大小計算和高頻響應對力傳遞率的影響，揭示出了力傳遞率的跳躍和滯后現象，主要結論如下：

(1)求出了跳躍頻率的計算公式。

(2)在計算隔振系統的力傳遞率時，可以不考慮隔振系統中傳遞力的高頻成分。

(3)非線性項系數、激勵幅值僅對共振區域的力傳遞率有影響。

(4)阻尼僅在共振區域和高頻區域對力傳遞率有影響。阻尼越小，高頻區域的力傳遞率越小。

(5)推導出了力傳遞率Tr＜1的起始頻率值的計算公式，該頻率值隨阻尼的增大而降低，隨著非線性項系數和激勵幅值的增大而增大。

［1］Araki Y，Asai T，Masui T.Vertical vibration isolator having piecewise－constant restoring force ［J］. Earthquake Engineering＆ Structural Dynamics，2009，38(3)：1505－1523.

［2］Ibrahim R A.Recent advances in nonlinear passive vibration isolators［J］.Journal of Sound and Vibration，2008，314：371－452.

［3］ Kovacic I，Brennan M J，Waters T P.A study of a nonlinear vibration isolator with a quasi－zero stiffness characteristic［J］.Journal of Sound and Vibration，2008，315：700 －711.

［4 ］ Carrella A，Brennan M J，Kovacic I，et al.On the force transmissibility of a vibration isolator with quasi－zero－stiffness［J］.Journal of Sound and Vibration，2009，322：707 －717.

［5］Plaut R H，Sidbury J E，Virgin L N.Analysis of buckled and pre－bent fixed－end columns used as vibration isolators［J］.Journal of Sound and Vibration，2005，283：1216 －1228.

［6］Lee C M，Goverdovskiy V N，Temnikov A I.Design of springs with“negative”stiffness to improve vehicle driver vibration isolation［J］.Journal of Sound and Vibration，2007，302：865－874.

［7］Ibrahim R A，Somnay R J.Nonlinear dynamic analysis of an elastic beam isolator sliding on frictional supports［J］.Journal of Sound and Vibration，2007，308：735 －757.

［8］ Virgin L N，Santillan S T，Plaut R H.Vibration isolation using extreme geometric nonlinearity［J］.Journal of Sound and Vibration，2008，315：721 －731.

［9］陳泳斌，陳樹輝.非線性隔振系統的運動響應和傳遞率［J］. 振動與沖擊，1998，17(4)：18－22.

［10］陳安華，劉德順，朱萍玉.被動隔振體的非線性振動分析［J］. 機械工程學報，2001，37(6)：99 －101.

［11］陳安華，高 威，高永毅.被動隔振的非線性動力學研究［J］. 中國機械工程，2008，19(9)：1022－1025.

［12］周一峰，唐進元，何旭輝.強非線性主動隔振系統的運動響應及傳遞率［J］.中南大學學報(自然科學版)，2005，36(3)：496－500.

［13］唐進元，周一峰，何旭輝.被動隔振體非線性振動的能量迭代解法［J］. 應用力學學報，2005，22(4)：618－622.

［14］ Carrella A，Brennan M J，Waters T P.Force transmissibility of a nonlinear vibration isolator with high－static－low－dynamicstiffness［C］.Sixth EUROMECH NonlinearDynamics Conference，June 30 － July 4，2008，Saint Petersburg，RUSSIA.

［15］上田睆亮.カオス現象論［M］.コロナ社，2008.

［16］ Brennan M J，Kovacic I，Carrella A，et al.On the jump－up and jump－down frequencies of the Duffing oscillator［J］.Journal of Sound and Vibration，2008，318：1250 －1261.

［17］ Lou J J，Zhu S J，He L，et al.Application of chaos method to line spectra reduction［J］.Journal of Sound and Vibration，2005，286：645 －652.

Theoretical analysis on force transmissibility and jump phenomena of Duffing spring type vibration isolator

ZHANG Xiao-long，DONG Ya-bin
(School of Mechanical＆ Electrical Engineering，Xian University of Architecture＆ Technology，Xi'an 710055，China)

In order to study the common nonlinear characteristics of the vibration isolator，a single degree of freedom system with cubic restoring force was introduced and the harmonic balance method was applied to investigate the primary resonance near the natural frequency of the system.Based on Routh－Hurwitz stability criterion，it was clarified theoretically that the region surrounded by the curve consisting of the vertical tangential points on the cluster of primary resonance amplitude frequency characteristics curves is instable.In addition，the equations for the jump frequency and force transmissibility were derived.The calculated results show that the jump，hysteresis，stable and instable phenomena would take place for the force transmissibility of the isolator system and the effect of high frequency components of the transmitted force is limited.The damping of the system，the coefficient of nonlinear restoring force and the excitation amplitude have influence on the force transmissibility only in the region of resonant frequencies，but no effect in the frequence range lower than the resonance frequencies.The damping would only affect the force transmissibility in the frequency range higher than the resonance frequencies.Finally，the equation of the start frequency，from which the force transmissibility becomes less than 1，was presented.

nonlinear vibration isolation;force transmissibility;stability;jump phenomena

教育部留學回國人員項目(外留司［2009］1590號)

2011－02－10 修改稿收到日期：2011－08－23

張小龍 男，博士，教授，博士生導師，1963年12月生

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