具有跨區域的漁業資源的離散動力學模型分析

梁艷，顧恩國

(中南民族大學數學與統計學學院，湖北 武漢 430074)

隨著人口的增長和經濟的發展，公共漁業資源的過度捕撈已嚴重影響其再生能力和人類對它的可持續利用[1].因此再生資源的可持續利用已成為重要的研究課題.眾所周知，公共漁業資源的演化是一個復雜的非線性過程，它不僅與資源的自然環境因素(生物種群的自然增長率、生存環境的自然承載能力)有關，還與社會因素有關(市場的價格、捕撈者的捕撈能力和捕撈社會成本)有關.為了更好地掌握全部漁業，需要弄清資源的演化和捕撈情況.為了更好地管理漁業，國際海洋法規把漁業劃分為3個區域地分別為：內陸、淺海灘、深海，每部分又以水域差異為主導因素，輔以生產作業和資源特點分為若干區.在國外，關于漁業資源可持續發展的研究很多，關于不同區域生物經濟模型也有一些，大多為ODE模型[2-3]，早期由Pierre建立的不同的時間刻度下的生物經濟連續模型[4]，近年來R.Mchich對模型進行了完善，主要研究在多個捕魚區的捕撈力度的空間分布最優化問題，受到R.Mchich模型[3-5]的啟發，考慮到生物種群的數量代與代之間不重疊和捕撈力度是有周期性的，本文中建立離散動力學模型，盡管有人已經提出關于時間演化的漁業資源離散動力模型，但沒有考慮魚與漁船在不同區域的游動的速度和魚和船只的增長速度差別，因此，本文中在假設有兩種時間刻度的基礎上，建立一個跨區域的漁業資源和捕撈力度的時間演化的離散動力模型，用聚合方法簡化成二維的動力系統，先分析正不動點的存在性和局部穩定性，再分析可行域的邊界即當前漁業資源在什么范圍才能保持不枯竭.

1 模型的建立

主要考慮3個毗連的漁業區域，并且在t時刻魚的密度分別為x1(t)、x2(t)、x3(t)，捕撈力度分別為E1(t)、E2(t)、E3(t)，為了便于分析，我們假設所有的漁船出海時間是相同的，這樣每個區域的捕撈力度可用船隊擁有的船只數量來測量.

假設存在兩個不同的時間刻度，在快的時間刻度(一秒)下，資源的總儲量和船只的總數目被假設為保持不變.因此，這個模型此時僅描述魚與船只在不同區域的變化，在慢的時間刻度(一年或一個季度或一月)，魚的總儲量和船只的數目發生了變化.在每個區域的漁業資源和捕撈力度的演化模型由Barbier[5]提出.對于魚的儲量，用logistic模型描述魚的增長隨著捕獲而減少，即

xi(t+1)-xi(t)=rixi(t)(1-xi(t)/Ki)-h(xi(t)，Ei(t))，

這里ri和Ki(i=1，2，3)分別表示第i個區域自然增長率和環境承載能力.對于捕撈力度而言，捕撈船只的增加或減少要隨漁民收益而變化，即

Ei(t+1)-Ei(t)=ph(xi(t)，Ei(t))-ciEi(t),

這里ci是第i個船隊的捕撈成本，p是魚的市場價格.根據前面的假設，建立系統如下：

(1)

h(xi(t)，Ei(t))=qiEi(t)xi(t)(i=1，2，3)，qi為個體i的捕撈能力，aij表示魚從區域i到區域j的遷移率，bij表示漁船從區域i到區域j的遷移率，R>>1是魚和船(每年或每個季節或每個月)遷移的次數，假如令ε=1/R，方程(1)可以被寫成下列形式：

(2)

令x(t)=x1(t)+x2(t)+x3(t)，E(t)=E1(t)+E2(t)+E3(t)，ε=0其中xi=αix，Ei=βiE(i=1，2，3),

(3)

2 非負平衡點的存在性

(3)式可以寫成映射動力系統形式：

(4)

3 非負平衡點的局部穩定性和分叉

為了得出系統(4)的平衡點穩定性，我們考慮系統(4)的Jacobian矩陣：

(I)在E0(0,0)處,有

可得到平衡點E0, 當0

(II)在E1(K,0)處，有

當0

(III)在P(x*,E*)處,我們有

其矩陣的特征多項式為

P(λ)=λ2-tr(J)λ+det(J)，

由Jury條件p(1)=1-tr(J*)+det(J*)>0,P(-1)=1-tr(J*)+det(J*)>0,1-detJ*>0時，關于正平衡點p的穩定性我們有下面定理.

定理1

(2)當C=C1=KpQ時,系統(4)發生跨臨界分叉.當C>C1時正平衡點p(x*,E*)失去穩定,E1(K,0)開始穩定;當C

(4)當C=C3=KpQ-1時,系統(4)在p(x*,E*)處產生Neimark分叉；當C

4 正平衡點的全局分析

圖 1 系統(4)關于參數K=5,r=11/6,p=1,Q=1/3隨著參數C變化的可行域

次迭代為負,因此在第一象限并且在直線X-1左邊的點屬于不可行吸引域,可行域邊界此時完全由坐標軸和X的前像構成,如圖1(d);從圖1(a)中，我們可以看到混沌吸引子與可行域的邊界很接近，在這種情況下，外部環境一個很小的擾動都會導致資源的滅絕.

5 結語

本文中提出的是跨邊界的漁業資源的離散動力學模型,對模型進行非線性分析，得到正平衡態的存在性和局部穩定性，并從全局上分析了可行吸引域的結構，從而揭示了漁業資源可持續利用的內在規律。在這篇文章里，我們只簡單地考慮了3個區域，然而，這種方法對漁業區域研究可簡單地推廣到N(N>3)個,還有，在文中，我們把魚的市場價格假設為常數，在短期內是可行的。事實上，它應是一個變量，主要取決于市場需求和供應的差異，有待以后研究.

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[2] Mchich R,Auger P M,Bravo de la parra R, et al. Dynamics of a fishery on two fishing zones with fish stock dependent migrations:aggregation and control[J].Ecol Model,2002,158: 51-62.

[3] Mchich R,Charouki N,Auger P M,et al. Optimal spatial distribution of the fishing effort in a multi fishing zone mode[J]. Ecol Model, 2006,197:274-280.

[4] Pierre Auger, Rachid Mchich, Nadia Raissi,et al. Effects of market price on the dynamics of a spatial fishery model: over-exploited fishery/traditional fishery[J]. Ecol Model, 2010,7(1): 13-20.

[5] Barbier E B,Strand I,Sathirathai S.Do open access conditions affect the valuation of an externality?Estimating the welfare effects of mangrove-fishery linkages[J].Env Resour Econ,2002,21:343-367.

[6] Gu Enguo.Global bifurcations of domains of feasible trajectories: analysis of a predator-prey model[J].Int J of Bifurcation and Chaos,2006,16(8):2601-2613.