課堂引入實例探究——以矩陣代數為例

【摘要】針對目前高職學生基礎薄弱、基礎差異較大、學生學習矩陣代數有畏懼心理、學習興趣不濃厚等實際情況，我們在矩陣代數教學中進行教學提問設計優化的實例探究，以提高學生的學習熱情和與教師的教學互動，為矩陣代數的學習打下良好的基礎.

【關鍵詞】數學教學；提問設計；矩陣代數；高職

一、高職學生學習矩陣數學的現狀

高職學生生源分普高學生和職高學生兩部分，總體上入學數學成績差異較大，數學基礎參差不齊，這使得部分高職學生學習數學時明顯地缺乏自信心，產生學習數學的畏難情緒.《矩陣代數》是繼學習《微積分》之后的一門課程，部分學生將在《微積分》學習中的困難情緒延續到《矩陣代數》的學習中，稍有難一點的知識或繁瑣的解題步驟就將困難放大，造成了學習困難.我在矩陣代數教學之初，進行了教學提問設計優化，增加知識的過渡性，來消除學生的畏難情緒，激發學生學習數學的興趣，收到了良好的教學效果.

二、課堂引入實例探究一：矩陣的乘法

在矩陣代數剛開始學的時候，學生感到難的地方之一是矩陣的乘法.現有的教材基本上都是先給出乘法的原理和方法，然后進行例子的講解和計算，很少有為什么這么計算的導入例子，這樣，一來學生不明白為什么要這樣乘、這樣做要干什么，二來計算又有些難度，教師在第一節課中若一講而過，有的學生甚至到課程結束也沒有學好矩陣的乘法.我在這個環節提出了一個家常的例子——計算電費.如：寧波市為避開高峰期用電，鼓勵夜間用電實行峰谷電，白天（上午8點~晚上10點）與夜間（晚上10點~早上8點）電費分別為0.568元和0.28元.某三戶人家某月的白天和夜間用電情況如下:121和35，135和25，142和44.問這三戶人家該月的電費分別是多少？用矩陣表示.這個例子讓學生自由討論，然后給出矩陣相乘的定義，再進行練習鞏固.在討論中學生設計出了兩套方案，了解矩陣乘法的優勢，這樣下來定義的給出自然了許多，學生更容易接受，再通過幾個練習的鞏固，基本上學生都能掌握矩陣相乘這一知識點.

三、課堂引入實例探究二：矩陣的初等變換

在矩陣代數中，矩陣的初等變換是學習矩陣的一個重要的基礎知識，它對后續學習逆矩陣、解矩陣方程等知識起著非常重要的作用，因此學好矩陣的初等變換非常重要.在引入中，第一步我引入了一個實例：在建造飛機前，工程師會利用數值模擬技術在計算機虛擬仿真系統中構建出飛機的三維模型，并通過飛機飛行過程中的虛擬來研究飛機周圍氣流的變化，以解決飛機結構設計中的重大問題.為了得到飛機結構的三維模型，典型的做法是向飛機的虛擬實體模型中添加一個三維的立方體網格，每個小網格中的立方體稱為三維單元，一個典型的三維網格可能包含著幾十萬個甚至上百萬個三維單元.當三維網格足夠小時，則在該單元上的描述氣流的復雜方程可以被簡單的線性方程組代替.這種方法稱為“有限單元法”，目前成為眾多計算和仿真軟件系統的算法基礎.用這個例子強調很多的科學問題會涉及解線性方程組.第二步：讓同學們解一個矩陣方程組，如2x1+2x2-x3=6，x1-2x2+4x3=3，3x1+5x2-9x3=0，演示每一步過程，解得x1=1，x2=3，x3=2.然后用動畫模擬矩陣每一步變化過程，22-161-24335-90→1-24302-9000-32-9→100101030012，通過兩個矩陣的區別得到階梯矩陣和簡化階梯矩陣的概念，告訴同學們，將矩陣變換到階梯矩陣再到簡化階梯矩陣，可以實現解線性方程組.用這個例子引出矩陣的初等變換，這樣學生既明確了為什么這樣做，也知道了這樣做的明顯優勢，學習起來會更加有目的性，效果比原來直接講什么是初等變換要好很多.

四、課堂引入實例探究三：矩陣的秩

在講完矩陣的初等變換后，直接講矩陣的秩，有兩個不足：一是過渡很生硬，不自然；二是學生會糊里糊涂，搞不明白為何要講矩陣的秩這個概念.老師講它干什么.很多老師只是在這里交代了概念，那么基礎較好的學生會在后續學習解線性方程組解的情況中明白過來，而大部分學生會在后續學習中產生學習障礙.我在這里對教材的處理是增加了兩個矩陣初等變換的練習，如，31021-12-113-4413-4440108，24101032-15-310102，前一個出現了全零行，后一個則是滿秩的，提問：出現全零行對方程的解有什么影響？這個例子起到了承前啟后的作用，既復習了矩陣的初等變換，又將矩陣的秩自然地引了出來，這樣做學生比較容易接受，效果也比較好.

通過這些簡單而巧妙引入的設計，讓學生明白很多知識之間是緊密相連的，不僅能夠在矩陣代數初學時讓學生覺得輕松、簡單，消除他們的畏難情緒，更能讓學生較好地掌握知識，理解為什么這樣做、怎么做，從而激發學生的學習興趣和動力，為課程后續的教學打下良好的基礎.

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