一道不等式證明題的多種解法

【摘要】隨著素質教育的深入，社會對教師教學的要求也越來越高了.怎樣才能在短短的課堂45分鐘時間內拓展學生的思維，提高課堂效率呢?筆者認為在數學教學中，一題多解不失為一個好辦法.因為一題多解能夠激發學生的思維活動，能夠讓學生化被動為主動，化呆板為靈動地學習.不等式這一知識點在高中數學中涉及的面比較廣，應用比較靈活，再加上它的抽象性，讓許多同學望不等式而生畏.以下略舉一例，希望能起到拋磚引玉的作用，讓廣大同行們在教學過程中拓展和發散學生的思維方面有所啟發.

【關鍵詞】素質教育；課堂效率；數學思維

題目 已知a，b，c∈R+，求證:ab+c+ba+c+ca+b≥32.

分析 此題比較抽象，條件非常簡單，把很多同學難倒了.這時，我們不妨引導學生抓住a，b，c∈R+這一條件，在不等式中，均值不等式里強調了這個條件，所以我們不妨用均值不等式試一試.

證明 方法一：均值不等式

原式=a+b+cb+c+a+b+ca+c+a+b+ca+b-3

=(a+b+c)1b+c+1a+c+1a+b-3

=12［(b+c)+(a+c)+(a+b)］#8226; 1b+c+1a+c+1a+b-3

≥12#8226;33(b+c)(a+c)(a+b)#8226; 331b+c+1a+c+1a+b-3

=92-3=32.

分析 盡管柯西不等式是我們新課改中新添的內容，可是它的用處卻不容忽視，它的應用非常廣泛，它的最大特點是與平方和有關，雖然題目中沒有出現平方，但是在正數的條件下，我們是可以自己創造平方的，這樣就出現了平方和，形式上就與柯西不等式一致了.

方法二：柯西不等式

原式=a+b+cb+c+a+b+ca+c+a+b+ca+b-3

=12［(b+c)+(a+c)+(a+b)］#8226; 1b+c+1a+c+1a+b-3

=12［(b+c)2+(a+c)2+(a+b)2］#8226; 1b+c2+1a+c2+1a+b2-3

≥12(1+1+1)2-3=32.

方法三：綜合法

ab+c=2a+b+c2(b+c)-12，①

ba+c=2b+a+c2(a+c)-12，②

ca+b=2c+a+b2(a+b)-12，③

①+②+③，得

ab+c+ba+c+ca+b

=12a+bb+c+b+ca+b+a+cb+c+b+ca+c+a+ba+c+a+ca+b-32

≥62-32=32.

方法四：綜合法

∵2ab+c+2ba+c+2ca+b

=2a+b+cb+c+2b+a+ca+c+2c+a+ba+b-3

=a+bb+c+b+ca+b+a+cb+c+b+ca+c+a+ca+b+a+ba+c-3

≥2+2+2-3=3，

∴ab+c+ba+c+ca+b≥32.

此種方法對學生的觀察分析及綜合能力都要求比較高，要有一定的數學功底才能把它“湊”出來.

方法五：換元法

令x=b+c，y=a+c，z=a+b且x>0，y>0，z>0，則

a=-x+y+z2，b=x-y+z2，c=x+y-z2.

原式=-x+y+z2x+x-y+z2y+x+y-z2z

=12yx+xy+zx+xz+zy+yz-32

≥12×6-32=32.

此種方法不失為一種好方法，換元法是我們數學中常用的方法，教師稍加啟發，學生便能證出，而且較易掌握，對于學生以后的學習是大有幫助的.

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