二元三次不定方程ax³+by²=n整數解的初等解法

形如ax3+by2=n(a，b，n，x，|y|∈N)（1）的二元三次不定方程，迄今為止，還沒有它的一般解法，本文將給出這類不定方程的初等解法.

我們約定，把正整數集合記作N.

定理 解方程（1），把滿足x≤3n-ba（2）的x值代入|y|=n-ax3b（3）中，當 n-ax3b∈N時，則得方程（1）的兩組整數解（x0，y0），（x0，-y0）.

證明 由（1），得|y|=n-ax3b.當 n-ax3b∈N時，推得n-ax3b≥1，n-ax3≥b，x3≤n-ba，x≤3n-ba，［x］=x，x≤3n-ba，可知x為不超過 3n-ba的正整數，把這樣的x值代入（3）中，有某個x0值，使 n-ax30b=y0∈N，則得方程組(1)的兩組整數解（x0，y0），（x0，-y0）.

例1 解不定方程3x3+4y2=124.

解 a=3，b=4，n=124，x≤3n-ba=3124-43=［340］=［3.42］=3，x=1，2，3.

當x=3時，代入(3)，|y|＝124-3×334=434N；

當x=2時，代入(3)，|y|＝124-3×234=5∈N，得兩組解(2，5)，（2，-5）；

當x=1時，代入(3)，|y|＝124-3×134=112N.

故原方程只有兩組整數解(2，5)，（2，-5）.

例2 解不定方程3x3+y2=84.2.

解 原方程化為15x3+5y2=421，a=15，b=5，n=421，

x≤3n-ba=3421-515=［327.73］=［3.027］=3，x=1，2，3.

當x=3時，代入（3），|y|＝n-ax3b＝421-15×335＝165＝4∈N，得兩組解(3，4)，（3，-4）；

當x=1，2時，經驗證|y|＝n-ax3bN.

故原方程只有兩組整數解(3，4)，（3，-4）.

例3 解方程4x3+7y2=7087.

解 a=4，b=7，n=7087.

x≤37087-74=［12.10］=12，x=1，2，3，…，12.

當x=12時，|y|＝n-ax3b＝7087-4×1237＝5∈N，得原方程的兩組解(12，5)，（12，-5）；

當x=10時，|y|＝n-ax3b＝7087-4×1037＝441＝21∈N，又得兩組解(10，21)，（10，-21）；

當x=1，2，3，…，11時，都有|y|=n-ax3b=7087-4×x37N.

故原方程有四組整數解(12，5)，（12，-5），(10，21)，（10，-21）.

推論 滿足不等式x≤3n-ba的所有x值，使n-ax3bN，則方程（1）沒有整數解.

例4 解不定方程5x3+6y2=328.

解 a=5，b=6，n=328，

x≤3n-ba=3328-66=［364.4］=［4.01］=4，x=1，2，3，4.

當x=4時，代入（3），|y|＝n-ax3b＝328-5×436＝86N；

當x=3時，代入（3），|y|＝n-ax3b＝328-5×336＝1936N；

當x=2時，代入（3），|y|＝n-ax3b＝328-5×236＝48N；

當x=1時，代入（3），|y|＝n-ax3b＝328-5×136＝3236N.

故原方程沒有整數解.

解不定方程（1）的思想方法，是把x圈在某一個正整數范圍內，即x∈{1，2，…，3n-ba}，取x值，一般從大到小，把x值代入原方程，便可求出y來，當求得y0=n-ax30b∈N，便找到了方程（1）的兩組整數解（x0，y0），（x0，-y0），其解并不唯一.這里需要用到計算器，求立方根、平方根，計算有限個y值.盡管計算麻煩些，總比沒有辦法求解好.

【參考文獻】

［1］華羅庚.數論導引.北京：科學出版社，1978.

［2］柯召，孫琦.談談不定方程.上海：上海教育出版社，1980.

［3］陳景潤.初等數論（1）.北京：科學出版社，1978.

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