關(guān)于高中《平面向量》的教學(xué)反芻

向量作為溝通數(shù)和形的重要工具，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的基本概念之一.用較少的課時(shí)，引入現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要知識，是適應(yīng)時(shí)代發(fā)展對數(shù)學(xué)教學(xué)的需要，也是為學(xué)生提供一種重要的、有價(jià)值的數(shù)學(xué)工具，同時(shí)又創(chuàng)設(shè)了能促使學(xué)生從一種新角度來進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的情境，從而能更完整、更合理地構(gòu)建學(xué)生的數(shù)學(xué)基本知識、基本技能.如何對本章進(jìn)行教學(xué)呢?本文談?wù)勛约涸诒菊陆虒W(xué)后的一些看法，供大家參考.

本章概念及法則較多，與原學(xué)過的數(shù)的運(yùn)算又不盡相同，圍繞本章的重點(diǎn)及難點(diǎn)的教學(xué)，個(gè)人認(rèn)為可以從處理好以下幾個(gè)方面入手.

一、對“平面向量的實(shí)際背景及基本概念”的教學(xué)，應(yīng)要求學(xué)生注意如下幾點(diǎn)

1.向量是區(qū)別于數(shù)量的一種量，它由兩個(gè)因素來確定——大小和方向，而數(shù)量只有大小沒有方向，如力、位移、速度、加速度等都是向量.數(shù)量之間可以比較大小，而向量中由于方向不能比較大小，因此，對于向量來說，“大于”“小于”是沒有意義的，即向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小.

2.向量在實(shí)際生活中應(yīng)用很廣泛，有些向量與其起點(diǎn)有關(guān)，如力是作用于一定點(diǎn)的向量；有些向量與其起點(diǎn)無關(guān).由于一切向量的共性是它們都有大小和方向，所以數(shù)學(xué)中我們只研究與起點(diǎn)無關(guān)的向量，即自由向量.當(dāng)遇到與起點(diǎn)有關(guān)的向量時(shí)，可在一般原則下作特別處理（如平移向量）.

3.單位向量是模為1的向量，其坐標(biāo)表示為e=(x，y)，x2+y2=1.

4.共線向量（也稱平行向量），要求是幾個(gè)非零向量的方向相同或相反，當(dāng)然向量所在的直線可以平行，也可以重合.其中“共線”的含義不是平面幾何中的“共線”含義.實(shí)際上，共線向量有以下四種情況：方向相同且模相等（相等向量）；方向相同但模不等；方向相反但模相等（相反向量）；方向相反且模不等.這樣，也就找到了共線向量與相等向量的關(guān)系，即共線向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共線向量.

5.兩個(gè)向量只有當(dāng)它們的模相等，同時(shí)方向又相同時(shí)，才能稱它們相等.例如，a=b，就意味著|a|=|b|，且a與b的方向相同.

由向量相等的定義可以知道，對于一個(gè)向量，只要不改變它的大小和方向，是可以平行移動的，因此，用有向線段表示向量時(shí)，可以任意選取有向線段的起點(diǎn).由此可知，任意一組平行向量都可以移到同一條直線上.這為以后用向量處理幾何等問題帶來方便.

6.零向量是模等于0的向量.它與數(shù)0是有區(qū)別的，其方向可看作任意，即課本中規(guī)定零向量與任意方向的向量平行.由于零向量的特殊性，在學(xué)習(xí)中應(yīng)特別注意.

7.在數(shù)學(xué)研究中，往往用有向線段來表示向量，有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向.因此，也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，為解決實(shí)際問題開拓了新天地.值得注意的是有向線段是向量的表示，并不是說向量就是有向線段.

二、對“平面向量的線性運(yùn)算”教學(xué)中，要求學(xué)生注意以下幾點(diǎn)

1.向量加法的兩個(gè)法則中平行四邊形法則在物理力學(xué)中已經(jīng)很熟悉.三角形法則只要記住首尾相接這一做法就可以了，把用小寫字母表示的向量用兩個(gè)大寫字母表示后，再作加法更便捷些.由于AB=-BA，把減法化為加法做更好.向量減法的實(shí)質(zhì)是加法的逆運(yùn)算，用有向線段表示，只要記住“連終點(diǎn)指向被減”就可以了.

2.當(dāng)兩個(gè)非零向量a與b不共線時(shí)，a+b的方向與a，b的方向都不相同，且||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|；當(dāng)a與b的方向相同時(shí)，向量a+b的方向與a，b的方向相同，且|a+b|=|a|+|b|；當(dāng)a與b的方向相反，當(dāng)|a|<|b|時(shí)，則a+b與b的方向相同，且|a+b|=|b|-|a|，當(dāng)|a|>|b|時(shí)，則a+b與a的方向相同，且|a+b|=|a|-|b|.a-b的方向與大小，只要把-b看成上面的b就可以了.

3.以向量AB=a，AD=b為鄰邊作平行四邊形ABCD，則兩條對角線為AC=a+b，BD=b-a，DB=a-b，這一結(jié)論在以后應(yīng)用還是非常廣泛的，應(yīng)該理解并記住.

4.數(shù)乘向量應(yīng)注意當(dāng)λ=0時(shí)，λa=0而不等于數(shù)0.當(dāng)a=0時(shí)，λa=0.數(shù)乘可以把向量a的長度擴(kuò)大（當(dāng)|λ|>1時(shí)），也可以把向量a的長度縮短（當(dāng)|λ|<1時(shí)），同時(shí)可以不改變向量a的方向（當(dāng)λ>0時(shí)），也可以改變向量a的方向（當(dāng)λ<0時(shí)）.實(shí)數(shù)與向量可以求積，但是不能進(jìn)行加減運(yùn)算.比如λ+a，λ-a無法運(yùn)算.

5.兩個(gè)向量的和、差仍然是一個(gè)向量，數(shù)乘也仍然是一個(gè)向量.加、減、數(shù)乘都有其運(yùn)算律，應(yīng)注意這些運(yùn)算律與數(shù)的運(yùn)算律的聯(lián)系與區(qū)別.

6.關(guān)于兩向量共線的判定，請注意：如果兩非零向量a，b，使a=λb(λ∈R)，那么a∥b；反之，如果向量平行，且b≠0，那么a=λb.這里的“反之”中，沒有指出a是非零向量.這就是說a=0時(shí)，與λb的方向規(guī)定為平行.

三、“平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示”的教學(xué)，要求學(xué)生掌握

1.該定理為向量的坐標(biāo)表示奠定了理論基礎(chǔ)，當(dāng)基底是e1，e2，且夾角為90°，|e1|=|e2|=1時(shí)，其中λ，μ即為向量的坐標(biāo).由于基底的方向和模各不相同，因此，可建立多種坐標(biāo)系，為解決問題開拓了新的天地.

2.該定理另一層意思是可將任何一個(gè)向量在給出兩個(gè)基底e1，e2的條件下進(jìn)行分解.

將e1，e2，a平移到同一起點(diǎn)O，分別延長e1=OA，e2=OB，過C點(diǎn)分別作OA，OB的平行線，交OA，OB的延長線于M，N，則有OM=λOA，ON=μOB，可得到a=λe1+μe2.

3.由該定理知，任一個(gè)平面直線型圖形都可以表示為某些向量的線性組合，這樣在證明幾何命題時(shí)，可先把已知和結(jié)論表示成向量形式，再通過向量的運(yùn)算，有時(shí)能很容易證明幾何命題.因此，向量是數(shù)學(xué)中證明命題有效工具之一.

4.向量的坐標(biāo)表示，實(shí)際是向量的代數(shù)表示.在引入向量的坐標(biāo)表示后，即可使向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密地結(jié)合了起來，這樣很多幾何問題的證明就轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟知的數(shù)量的運(yùn)算，這也是中學(xué)數(shù)學(xué)課中學(xué)習(xí)向量的目的之一.對于向量的坐標(biāo)運(yùn)算一定要讓學(xué)生掌握.

5.要把點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)區(qū)別開，相等的向量的坐標(biāo)是相同的.而起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)可以不同.如A(1，2)，B(3，4)，AB=(2，2)；C(-1，3)，D(1，5)，CD=(2，2).

四、在“平面向量的數(shù)量積”的教學(xué)中，要求學(xué)生注意向量運(yùn)算的特征

1.理解向量夾角的概念，規(guī)定0≤θ≤π；認(rèn)識向量數(shù)量積的幾何意義是：一個(gè)向量的長度乘以另一個(gè)向量在其上的射影值.注意這個(gè)射影值可正可負(fù)可以為零.所以我們說向量的數(shù)量積的結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量.它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積，其符號由夾角的余弦值決定.

2.數(shù)量積的運(yùn)算只適合交換律、加乘分配律及數(shù)乘結(jié)合律，但不適合乘法集合律.

對于實(shí)數(shù)a，b，c，有(ab)c=a(bc)，但對于向量a，b，c，有(a#8226;b)c≠a(b#8226;c).這里因?yàn)?a#8226;b)c表示一個(gè)與c共線的向量，而a(b#8226;c)表示一個(gè)與a共線的向量，而c與a一般并不共線，所以(a#8226;b)c≠a(b#8226;c).

使用運(yùn)算符號時(shí)，a#8226;b中的“#8226;”要有別于數(shù)的運(yùn)算中的乘號及今后要學(xué)到的向量積.

3.“如果ab=0，那么a，b中至少有一個(gè)為零”在向量中不成立.在向量中，若a#8226;b=0，可以推出以下四種情況：（1）a=0，b≠0；（2）a≠0，b=0；（3）a=0且b=0；（4）a≠0，b≠0且a⊥b.因此，a=0或b=0是a#8226;b=0的充分不必要條件.

4.“實(shí)數(shù)a，b，c，由ab=ac，a≠0推出b=c”這一性質(zhì)在向量推理中不正確.如：取|a|=1，|b|=22，a與b的夾角為45°，|c|=12，a與c的夾角為0°.顯然a#8226;b=a#8226;c=12，但b≠c.

5.由于數(shù)量積的學(xué)習(xí)，一些比較靈活的題目開始出現(xiàn)，因此，對一些性質(zhì)應(yīng)牢牢掌握，如a2=|a|2，cosθ=a#8226;b|a|#8226;|b|，a#8226;b=0a⊥b等，用它們可以解決有關(guān)的長度、角度、垂直的問題.

6.利用數(shù)量積可判斷兩個(gè)向量是否垂直，判斷由向量圍成的三角形類型.這些判斷需在非零向量的前提下，也要注意邏輯推理過程.

7.由于引入坐標(biāo)，向量的長度、兩向量平行、垂直的條件也可以用坐標(biāo)表示，求兩向量夾角也可以用坐標(biāo)表示：

設(shè)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，θ為夾角，則

|a|=x21+y21，

a∥bx1y2-x2y1=0，

a⊥bx1x2+y1y2=0，

cosθ=x1x2+y1y2x21+y21#8226;x22+y22.

五、在“平面向量應(yīng)用舉例”的教學(xué)中，要求掌握平面向量作為工具解決實(shí)際問題

1.平面向量在平面幾何中的應(yīng)用：（1）證明線段相等、平行，常用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則，有時(shí)也用到向量減法的定義；（2）證明線段平行、三角形相似，判斷兩直線（或線段）是否平行，常用向量平行（共線）的條件，a∥bx1y2-x2y1=0；（3）證明垂直問題，常用向量垂直的充要條件，a⊥bx1x2+y1y2=0；求夾角問題，常用夾角公式cosθ=x1x2+y1y2x21+y21#8226;x22+y22.

2.平面向量在物理幾何中的應(yīng)用，主要解決：向量的加法與減法在力的分解與合成中的應(yīng)用；向量在速度的分解與合成中的應(yīng)用.

另外，在《平面向量》整章的教學(xué)中要貫穿數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想與轉(zhuǎn)化歸納的思想都是平面向量學(xué)習(xí)中的重要思想.

以上是我對《平面向量》的教學(xué)反芻，與同行探討.

【參考文獻(xiàn)】

［1］數(shù)學(xué)必修4教師教學(xué)參考（普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)）.人民教育出版社.

［2］數(shù)學(xué)必修4（普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書）.人民教育出版社.

［3］吳汝龍.關(guān)于高中新教材《平面向量》的教學(xué)設(shè)想.江西：中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2003（6）.

［4］韓相河，劉紓珮.平面向量.山東教育出版社，2001.

［5］孫豐良.平面向量.延邊大學(xué)出版社，2002.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文