數學建模與解決問題

初中數學教學大綱規定：“學生會用所學知識解決簡單的實際問題.”這就要求學生會解具有實際意義的應用題，有目的地構造特定的數學模型，以使問題得到解決，這就是數學建模.運用數學建模思想，對學生創新意識的培養大有裨益，既可使學生具備數學建模意識，又可培養學生的發散思維能力.

一、建立函數模型解最優化問題

可以說，有數學的地方往往也就有函數，對于現實生活中普遍存在的最優化問題，如面積最大、花錢最小、利潤最大等，可以通過變量關系之間建立函數，轉化為求函數極值問題.

例1 某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷量，增加盈利，盡量減少庫存，商場決定采取適當的降價措施.經調查發現，每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件，試用函數表示當商場降價x元后該商場每天的盈利額y元；若商場每天要盈利1200元，請你幫助商場算一算，每件襯衫應降價多少元？

解 y=-2x2+60x+800.

當y=1200時，x1=20，x2=10.

考慮盡量減少庫存x=20.

答：每件襯衣應降價20元.

二、建立直角坐標系模型解運動軌跡問題

當變量變化中有函數關系，或物體運動軌跡具有某種規律，如投籃、平拋等，可建立平面直角坐標系，轉化為函數問題來求解.

例2 如圖，足球場上守門員在O處開出一高球，球從離地面1米的A處飛出（A在y軸上），運動員乙在距O點6米的B處發現球在自己頭的正上方達到最高點M，距地面約4米高，球落地后又一次彈起.據實驗測算，足球在草坪上彈起后的拋物線與原來的拋物線形狀相同，最大高度減少到原來最大高度的一半.

（1）求足球開始飛出到第一次落地時，該拋物線的表達式.

（2）足球第一次落地點C距守門員多少米？（取43=7）

（3）運動員乙要搶到第二個落點D，他應再向前跑多少米？（取26=5）

三、建立直角三角形模型解測距問題

對航海、測高測遠等應用問題，可建立直角三角模型，轉化為解直角三角形.

例3 如圖，臺風中心位于點P，并沿東北方向PQ移動，已知臺風移動的速度為30千米/時，受影響區域的半徑為200千米，B市位于點P的北偏東75°方向上，距離點P 320千米處.

(1)說明本次臺風會影響B市.

（2）求這次臺風影響B市的時間.

解 (1)作BH⊥PQ于點H.在Rt△BHP中，

由條件知，PB=320，∠BPQ=30°，

得BH=320sin30°=160<200.

∴本次臺風會影響B市.

(2)如圖，若臺風中心移動到P1時，臺風開始影響B市，臺風中心移動到P2時，臺風影響結束.

由（1）得，BH=160.由條件，得

BP1=BP2=200.

∴P1P2=22002-1602=240.

∴臺風影響的時間t=24030=8(小時).

四、建立不等式模型解隱含數量關系問題

在市場經營、盈虧分析、投資決策等，可挖掘實際問題所隱含的數量關系，轉化為不等式（組）的求解.

例4 “5#8226;12”汶川大地震震驚全世界，面對人類特大災害，在黨中央國務院的領導下，全國人民萬眾一心，眾志成城，抗震救災.現在A，B兩市各有賑災物資500噸和300噸，急需運往汶川400噸，運往北川400噸，從A，B兩市運往汶川、北川的耗油量如下表：

汶川（升/噸）北川（升/噸）

A市0.50.8

B市1.00.4

（1）若從A市運往汶川的賑災物資為x噸，求完成以上運輸所需總耗油量y（升）與x（噸）的函數關系式.

（2）請你設計一種最佳運輸方案，使總耗油量最少，并求出完成以上方案至少需要多少升油.

解 （1）由從A市運往汶川x噸，得A市運往北川（500-x）噸，B市運往汶川（400-x）噸，運往北川（x-100）噸.

∴y=0.5x+0.8(500-x)+1.0(400-x)+0.4(x-100)

=0.5x+400-0.8x+400-x+0.4x-40

=-0.9x+760.

由題意，得x≤400，500-x≤400.

（也可由400-x≤300，x-100≤300，得100≤x≤400）

解得100≤x≤400.

∴y=-0.9x+760(100≤x≤400).

（2）由（1），得y=-0.9x+760.

∵-0.9＜0，∴y隨x的增大而減小.

又 ∵100≤x≤400，

∴當x=400時，y的值最小，

即最小值是y=-0.9×400+760=400（升）.

這時，500-x=100，400-x=0，x-100=300.

∴總耗油量最少的最佳運輸方案是從A市運往汶川400噸，北川100噸；B市的300噸全部運往北川.

此方案總耗油量是400升.

從上述幾例可以看出，構造數學模型，需要多方面的能力，如理解實際問題的能力、數學抽象能力、運用數學工具能力等等.為此，同學們在平時的學習中，應當多接觸一些實際問題，多解答一些應用問題，應多了解數學模型，擴大數學視野.大而言之，微積分是運動過程的數學模型，概率統計是隨機現象的數學模型.小而言之，二元一次方程組可作為雞兔同籠的數學模型，函數圖像可作為走路、乘車的模型.

用數學模型方法解題是數學的一種宏觀解題方法，近年來，由于電子計算機的廣泛應用和科學技術的數學化趨勢，使得數學模型方法廣泛地應用于自然科學、工程技術和社會科學的一切領域中，數學模型與現實原型相結合，將會轉化為巨大的力量.

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