用行列式的方法求解等差(等比)數列問題

【摘要】結合高職專科學院數學教材中的內容，介紹用行列式的知識求解等差（等比）數列問題的方法，以幫助學生提高解等差（等比）數列問題的能力.

【關鍵詞】行列式；等差數列；等比數列

一、通項公式an的有關問題

引理1 已知三角形三個頂點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則三角形的面積S=12x1y11x2y21x3y31的絕對值.

證明 由三角形的面積“S=12×底×高”可證.

引理2 平面上三點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)共線的充要條件為x1y11x2y21x3y31=0.

證明 平面上三點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)共線的充要條件為以三點為頂點的三角形面積為零，由引理1則引理2得證.

由引理2，對于一次函數f(x)=ax+b，我們得出

x1f(x1)1x2f(x2)1x3f(x3)1=0.（1）

對于等比數列的通項公式an=a1qn-1(q≠0)，有loga|an|=loga|a1|+(n-1)loga|q|=(loga|q|)n+loga|a1|-loga|q|(a>0，a≠1)是n的一次函數，由公式（1），三點(m，loga|am|)，(n，loga|an|)，(k，loga|ak|)是同一等比數列中的項數與相應項的充要條件是

mloga|am|1nloga|an|1kloga|ak|1=0，(2)

其中m，n，k為互不相等的自然數.

對于等差數列的通項公式an=a1+(n-1)d=dn+a1-d是n的一次函數，由公式（1），三點(m，am)，(n，an)，(k，ak)是同一等差數列中的項數與相應項的充要條件是

mam1nan1kak1=0，(3)

其中m，n，k為互不相等的自然數.

例1 （1）求等比數列2，6，18，…的第7項.

（2）試在3和3888之間插入3個正數，使5個數組成等比數列.

解 （1）依題意，由公式（2）有

1lg212lg617lga71=01lg211lg306lga720=01lg36lga72=0a7=1458.

（2）依題意，由公式（2）有

1lg312lga215lg38881=01lg311lga2304lg12960=01lga234lg1296=0a2=18.

所求等比數列為3，18，108，648，3888.

例2 已知數列{an}：6，9，14，21，30，…求此數列的通項公式.

解 由a1=6，a2=9，a3=14，a4=21，a5=30，…可設

a2-a1=b1=3，a3-a2=b2=5，a4-a3=b3=7，……an-an-1=bn-1.（※）

易知數列{bn}：3，5，7，…，bn，…為一等差數列，故有131251nbn1=0，將上行列式化簡整理得出bn=2n+1，從而bn-1=2n-1.

將前面（※）式中各式相加得出：

an-a1=b1+b2+…+bn-1=n2-1.所以an=n2+5.

二、證明問題

定理 若a，b，c成等差數列，且公差d≠0，則x，y，z也成等差數列的充要條件為

ax1by1cz1=0.（4）

證明 設I=ax1by1cz1=ax1b-ay-x0c-az-x0=b-ay-xc-az-x=d(z-x)-2d(y-x)=d(x+z-2y).

因為d≠0，所以I=0x+z-2y=0，即x，y，z成等差數列.

推論 若a，b，c成等差數列，且公差d≠0，則三正數x，y，z成等比數列的充要條件是

I=alogmx1blogmy1clogmz1=0(m>0，m≠0).（5）

證明 設三正數x，y，z成等比數列，則y2=xz，2logmy=logmx+logmz，即logmx，logmy，logmz成等差數列.由定理有I=alogmx1blogmy1clogmz1=0.

假設I=alogmx1blogmy1clogmz1=0(m>0，m≠0)，由定理知logmx，logmy，logmz成等差數列，即2logmy=logmx+logmz，則y2=xz.

所以三正數x，y，z成等比數列.證畢.

例3 在△ABC中，tanA是以-4為第3項，4為第7項的等差數列的公差，tanB是以13為第3項，9為第6項的等比數列的公比，求證：△ABC是銳角三角形.

證明 依題意，由公式（2），（3）有

1-4-2tanA13-41741=0及1lg13tan2B13lg1316lg91=0.

由行列式的性質，分別將上兩式中的兩個行列式化簡，整理可得tanA=2，tanB=3，則tanC=tan［π-(A+B)］=-tan(A+B)=-tanA+tanB1-tanAtanB=1，所以C=45°.又tanA=2>0，tanB=3>0，且0

三、計算問題

例4 設a，b，c分別是一等差數列的第p，m，n項，也是一等比數列的第p，m，n項，試求ab-cbc-aca-b.

解 依題意，由公式（2），（3）有

pa1mb1nc1=0和plga1mlgb1nlgc1=0.

將上面兩行列式化簡，整理可得

m-pn-p=b-ac-a和m-pn-p=lgbalgca

(b-a)lgca=(c-a)#8226;lgbabc-a=cb-aac-b，

所以ab-cbc-aca-b=ab-cac-bcb-aca-b=a0c0=1.

由上面的例子可見，根據公式（2），（3），（4），（5），用行列式的方法求解等差數列（等比數列）問題，思路自然，過程簡捷，既開闊了學生的視野，又培養了學生應用基本知識解決問題的能力.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文