精選例題,提高課堂教學(xué)有效性的若干嘗試

【摘要】數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效果非常不理想，主要是因為教師在課堂教學(xué)中不重視數(shù)學(xué)習(xí)題的選取，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得不到培養(yǎng)，解決問題的能力得不到提高而引起的.開放性數(shù)學(xué)習(xí)題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力；多種解法的數(shù)學(xué)習(xí)題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維能力；具有反思價值的數(shù)學(xué)習(xí)題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的歸納、總結(jié)能力.分類討論題型為培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力提供了一個非常實(shí)用的平臺.

【關(guān)鍵詞】例題；提高；有效性

數(shù)學(xué)是一門特殊學(xué)科，在學(xué)習(xí)過程中以運(yùn)算為主要手段.正是由于其特殊性，使得很多數(shù)學(xué)教師在教學(xué)活動中使用題海戰(zhàn)術(shù)，要求學(xué)生完成大量習(xí)題.此外，有許多家長自行給孩子加壓，為孩子購買大量的學(xué)習(xí)資料，加重了學(xué)生負(fù)擔(dān).多而不精的數(shù)學(xué)習(xí)題，令學(xué)生無喘息之機(jī)，久而久之，會失去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心.因此，如何提高課堂教學(xué)的有效性，減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，是中學(xué)教師必須解決的問題.課堂教學(xué)是一個動態(tài)的復(fù)雜的過程，教師的“教”是為了更好地促進(jìn)學(xué)生的“學(xué)”.我們在平時的教學(xué)中都很重視課堂教學(xué)的方式、方法和技巧，卻很少去關(guān)注影響課堂教學(xué)效果的一個關(guān)鍵因素：“精選習(xí)題”.目前很多初中學(xué)校的現(xiàn)狀是：學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)只停留在表面，雖然能記住數(shù)學(xué)定理、公式，但不會應(yīng)用它們來解決問題；遇到思維量大的數(shù)學(xué)問題往往依賴?yán)蠋熑ソ鉀Q，教學(xué)效果非常不理想.追根究底，主要是因為教師在課堂教學(xué)中不重視數(shù)學(xué)習(xí)題的選取，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得不到培養(yǎng)，解決問題的能力得不到提高而引起的.如何選擇習(xí)題，才能有效地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提高課堂教學(xué)效果呢？

一、精選開放性數(shù)學(xué)例題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力

學(xué)生學(xué)習(xí)知識的過程，是以一個積極的心態(tài)調(diào)動原有的知識經(jīng)驗、發(fā)現(xiàn)新問題、同化新知識的主動構(gòu)建過程，因此，在教學(xué)中，我們多關(guān)注學(xué)生探索能力的培養(yǎng)，對提高課堂教學(xué)效果很有幫助.而開放型探索性數(shù)學(xué)習(xí)題正是培養(yǎng)學(xué)生探索能力的好題型.開放型探索性問題可分為題設(shè)開放型、結(jié)論開放型、題設(shè)和結(jié)論均開放型等幾類.其中結(jié)論開放型探索性問題的特點(diǎn)是給出一定的條件而未給出結(jié)論，要求在給定條件的前提下探索結(jié)論的多樣性，然后通過推理證明確定結(jié)論;題設(shè)開放型探索性問題的特點(diǎn)是給出結(jié)論，不給出條件或條件殘缺，需在給定結(jié)論的前提下探索結(jié)論成立的條件，但滿足結(jié)論成立的條件往往不唯一，答案與已知條件對整個問題而言只要是充分的、相容的、獨(dú)立的.就視為正確的；全開放型是題設(shè)、結(jié)論都不確定或不太明確的開放型探索性問題，需要我們進(jìn)行比較全面深入地探索，才能研究出解決問題的辦法來.因此，加強(qiáng)開放型探索性問題的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生主動地進(jìn)行觀察、猜測、驗證、推理等數(shù)學(xué)活動，有利于提高他們解決數(shù)學(xué)問題的能力.

例1 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)時，點(diǎn)C，D，E的位置關(guān)系有幾種？并分別猜想在這幾種位置關(guān)系下DE，AD，BE具有怎樣的等量關(guān)系，且加以證明.

分析 本題是結(jié)論開放型題，其特點(diǎn)是給出一定的條件而未給出結(jié)論，結(jié)論不確定、不唯一；隨著C，D，E的位置的不同，DE，AD，BE的關(guān)系也不同，解決這個問題，需要根據(jù)條件推理創(chuàng)新，要求學(xué)生對幾何圖形進(jìn)行多角度、全方位地分析，探索結(jié)論的多樣性.

解 點(diǎn)C，D，E的位置關(guān)系有三種，如圖1，圖2，圖3.

圖 1

圖 2

圖 3

（1）當(dāng)C在D，E之間時，猜想AD，DE，BE所滿足的等量關(guān)系是DE=AD+BE：

∵∠ADC=∠ACB=90°，∴∠CAD+∠ACD=90°.

∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE.

∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB，∴CE=AD，CD=BE.

∴DE=CE+CD=AD+BE.

（2）當(dāng)D在C，E之間時，猜想AD，DE，BE所滿足的等量關(guān)系是DE=AD-BE：

∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，

∴∠ACD=∠CBE.

又 ∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE，

∴CE=AD，CD=BE，∴DE=CE-CD=AD-BE.

(3)當(dāng)E在C，D之間時，猜想AD，DE，BE所滿足的等量關(guān)系是DE=BE-AD：

∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE.

又 ∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE，∴AD=CE，CD=BE.

∴DE=CD-CE=BE-AD.

本題是結(jié)論開放型題，其特點(diǎn)是給出一定的條件而未給出結(jié)論，結(jié)論不確定、不唯一，隨著C，D，E的位置的不同，DE，AD，BE的關(guān)系也不同.解決這個問題，需要根據(jù)條件推理創(chuàng)新，要求學(xué)生對幾何圖形進(jìn)行多角度、全方位地分析，探索結(jié)論的多樣性.這類開放型題目的引入，對學(xué)習(xí)是有意義和富有挑戰(zhàn)性的，對提高學(xué)生的探究能力大有裨益.

二、精選多種解法的數(shù)學(xué)例題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力

圖 4

例2 如圖4，以△ABD的邊AB為直徑作半圓O，交AD于點(diǎn)C，過點(diǎn)C的切線CE和BD互相垂直，垂足為E，求證：AB=BD.

證法一 連接OC，∵CE是⊙O的切線，∴OC⊥CE.

又 ∵BD⊥CE，

∴OC∥BD，∴∠ACO=∠ADB.

又 ∵OA=OC，∴∠ACO=∠OAC，

即∠ADB=∠BAD，∴AB=BD.

證法二 連接BC，∵CE是⊙O的切線，

∴∠BCE=∠BAC.

∵BC⊥AC，∴∠BCA=∠BCD=90°.

在Rt△BCD中，∵CE⊥BD，∴∠BCE=∠BDC，

即∠ADB=∠BAD，∴AB=BD.

證法三 連接OC，∵CE是⊙O的切線，∴OC⊥CE.

又 ∵BD⊥CE，∴OC∥BD.

∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)C是AD的中點(diǎn)，

∴OC=12BD.

又 ∵AB是直徑，∴OC=12AB，∴AB=BD.

證法四 連接BC，∵BC⊥AC，∴∠BCA=∠BCD=90°.

∵CE是⊙O的切線，

∴∠BCE=∠BAC，∴∠ABC=∠DBC.

又 ∵BC=BC，∴△ABC≌△DBC，∴AB=BD.

證法五 連接BC，OC，∵CE是⊙O的切線，∴OC⊥CE.

又 ∵BD⊥CE，∴OC∥BD，∴∠DBC=∠OCB.

∵OC=OB，∴∠ABC=∠OCB，∴∠ABC=∠DBC.

又∵BC=BC，且BC⊥AC，

∴∠BCA=∠BCD=90°，∴△ABC≌△DBC，∴AB=BD.

本例的五種解法各有特色：證法一、證法二都是通過“等角對等邊”來證明AB=BD.不同的是，證法一用“兩直線平行同位角相等”和“等邊對等角”來證明∠ADB=∠BAD；而證法二則是用“弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角”和“等角的余角相等”來證明∠ADB=∠BAD.證法三則更簡捷，用三角形中位線定理一步到位達(dá)到證明目的.證法四和證法五都是通過“三角形全等”來證明AB=BD.在尋找三角形全等的條件時，證法四用“等角的余角相等”來證明∠ABC=∠DBC；而證法五則用“兩直線平行內(nèi)錯角相等”和“等邊對等角”來證明∠ABC=∠DBC.這樣，課堂教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行積極地觀察、分析和思考，從各個不同角度和不同途徑去尋求問題的答案，使題目涉及的知識和方法延伸到數(shù)學(xué)的各個知識點(diǎn)，力求溝通它們之間的聯(lián)系，不但使學(xué)生靈活、有趣地掌握了雙基，又能調(diào)動學(xué)生積累的全部智慧和熱情，使他們的思維不局限于一個方向，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維能力.

三、精選具有反思價值的數(shù)學(xué)例題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力

反思的過程是一個積極訓(xùn)練學(xué)生創(chuàng)造性思維，優(yōu)化思維品質(zhì)的過程.數(shù)學(xué)習(xí)題進(jìn)行解后反思，尤其是對解題的過程、方法、結(jié)果進(jìn)行總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生善于歸類，善于做規(guī)律的小結(jié)和技巧的揣摩，再進(jìn)一步作一題多變、一題多問、一題多解，挖掘例題的深度和廣度，擴(kuò)大例題的輻射面，是提高學(xué)生解題能力的一種有效方法.

例3 某供電部門準(zhǔn)備在輸電主干線l上連接一個分支線路，分支點(diǎn)為M，同時向新落成的A，B兩個居民小區(qū)送電.已知居民小區(qū)A，B分別到主干線l的距離AA1=2千米，BB1=1千米，且A1B1=4千米.

圖 5 圖 6

（1）如果居民小區(qū)A，B在主干線l的兩旁，如圖5所示，那么分支點(diǎn)M在什么地方時總線路最短？最短線路的長度是多少千米？

（2）如果居民小區(qū)A，B在主干線l的同旁，如圖6所示，那么分支點(diǎn)M在什么地方時總線路最短？此時分支點(diǎn)M與A1的距離是多少千米？

解 （1）方法一：連接AB，AB與l的交點(diǎn)就是所求分支點(diǎn)M，分支點(diǎn)開在此處，總線路最短.

∵∠BB1M=∠AA1M=90°（已知），∠BMB1=∠AMA1（對頂角相等），

∴△B1BM∽△A1AM，∴B1MA1M=BB1AA1，

即4-A1MA1M=12，解得A1M=83.

由勾股定理，得

AB=AM+BM=22+832+12+432

=103+53=5.

所以分支點(diǎn)M在線段A1B1上且距A點(diǎn)83千米處，最短線路的長度為5千米.

圖 7

方法二：連接AB，AB與l的交點(diǎn)就是所求分支點(diǎn)M，分支點(diǎn)開在此處，總線路最短.過B點(diǎn)作l的平行線，與AA1的延長線交于P點(diǎn)，如圖7，則∠APB=90°，BP=A1B1=4，AP=A1A+B1B=3.在Rt△APB中，根據(jù)勾股定理，得AB=AP2+BP2=32+42=5.所以最短線路的長度為5千米.

（2）如圖7作B點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B2，連接AB2交直線l于點(diǎn)M，此處即為分支點(diǎn)，由（1）知，A1M長度為83千米.

解決該問題后，如果教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，就會有如下兩點(diǎn)收獲：第一，在定直線上找一點(diǎn)使它到兩定點(diǎn)的距離之和最小時，分兩種情況：若這兩定點(diǎn)在該直線的異側(cè)，則這兩點(diǎn)的連線與該直線的交點(diǎn)為所求；若這兩定點(diǎn)在該直線的同側(cè)，則需作其中一點(diǎn)關(guān)于該直線的對稱點(diǎn)，該對稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線與該直線的交點(diǎn)為所求.第二，勾股定理是求線段長度常用的方法.這樣，通過反思解題方法和規(guī)律，學(xué)生就能舉一反三，遇到類似的問題就能輕而易舉地解決了.

四、精選分類討論型例題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力

分類討論思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想，其本質(zhì)是根據(jù)所研究對象的性質(zhì)差異，分各種不同的情況予以分析解決.分類討論題覆蓋知識點(diǎn)較多，具有較高的邏輯性及很強(qiáng)的綜合性，有利于拓展學(xué)生的知識面和培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力.

圖 8

例4 如圖8，已知正方形ABCD與正方形EFGH的邊長分別是42和22，它們的中心O1，O2都在直線l上，AD∥l，EG在直線l上，l與DC相交于點(diǎn)M，ME=7-22，當(dāng)正方形EFGH沿直線l以每秒1個單位的速度向左平移時，正方形ABCD也繞O1以每秒45°順時針方向開始旋轉(zhuǎn)，在運(yùn)動變化過程中，它們的形狀和大小都不改變.

（1）當(dāng)兩個正方形按照各自的運(yùn)動方式同時運(yùn)動3秒時，正方形ABCD停止旋轉(zhuǎn)，這時AE=，O1O2=-2.

（2）當(dāng)正方形ABCD停止旋轉(zhuǎn)后，正方形EFGH繼續(xù)向左平移的時間為x秒，兩正方形重疊部分的面積為y，求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式.

解 （1）0 6

（2）當(dāng)正方形ABCD停止運(yùn)動后，正方形EFGH繼續(xù)向左平移時，與正方形ABCD重疊部分的形狀也是正方形，如圖9、圖10、圖11，重疊部分的面積y與x之間的函數(shù)關(guān)系應(yīng)分四種情況：

圖 9

圖 10

圖 11

①如圖9，當(dāng)0≤x<4時，∵EA=x，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=x22.

②如圖10，當(dāng)4≤x<8時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=(22)2=8.

③如圖11，當(dāng)8≤x<12時，∵CG=12-x，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=(12-x)22=12x2-12x+72.

④當(dāng)x≥12時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=0.

本題中兩個正方形，一個平移、一個靜止，使得重疊部分所得的正方形的大小和位置隨著改變，從而在解題時產(chǎn)生分類討論.平移和旋轉(zhuǎn)是圖形常見的變換，正是因為“變換”這種“運(yùn)動”，使得圖形間的位置關(guān)系出現(xiàn)不同情況，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.因此，在教學(xué)中，教師如果能利用分類討論作為數(shù)學(xué)平臺，就能使學(xué)生的發(fā)散性思維能力得到培養(yǎng).

總之，教師在課堂教學(xué)中如果能為學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力發(fā)展的需要服務(wù)，精選數(shù)學(xué)習(xí)題進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中解題能力得到提高，就能激勵學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，變被動學(xué)習(xí)為主動學(xué)習(xí)，達(dá)到提高課堂教學(xué)效果的目的.

【參考文獻(xiàn)】

［1］揚(yáng)志文.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中開展探究性學(xué)習(xí)的實(shí)踐研究.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2004(5).

［2］徐斌艷.數(shù)學(xué)教育展望.上海：華東師范大學(xué)出版社，2001.

［3］九年義務(wù)教育全日制初級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(試用修訂版).北京：人民教育出版社，2000.

［4］郭立昌，范永利.初中數(shù)學(xué)探究性活動的內(nèi)容、形式及教學(xué)設(shè)計.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2001(1-2).

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文