點擊:幾何概型求概率

一般地，幾何概型的概率公式為P(A)=構成事件A的測度試驗全部的結果所構成的測度，注意：這里的“測度”只與大小有關，而與形狀和位置無關.具體解題時，要注意理解、掌握常見“測度”為長度、面積、體積、角度等的求解方法.請看以下歸類舉例.

一、轉化為求長度之比

例1 關于x的方程x2+x+n=0(n∈［0，2］)有實根的概率為.

解析 ∵方程有實根Δ=1-4n≥00≤n≤20≤n≤14，

∴由題設知，本題即求區間0，14與［0，2］的長度之比.故所求概率為P=142=18.

評注 本題屬于幾何概型中求長度之比，其關鍵是求事件發生時對應的n的取值范圍.

牛刀小試1 在區間［-1，1］上隨機取一個數x，則滿足|x|≤13的概率為.

二、轉化為求面積之比

例2 已知一個三角形的三邊長分別是5，5，6，一只螞蟻在其內部爬行，若不考慮螞蟻的大小，則某時刻該螞蟻距離三角形的三個頂點的距離均超過2的概率是.

解析 如圖，當螞蟻距離三角形的三個頂點的距離均超過2時，螞蟻要在圖中的空白區域內.

因為易知△ABC的面積是12，又三個陰影區域放在一起恰好形成半圓（半徑為2），從而空白區域的面積是12-12#8226;π#8226;22=12-2π.

故所求概率為P=12-2π12=1-π6.

評注 利用求補思想，巧妙作出滿足約束條件時螞蟻爬行的區域，是本題求解的突破口.

牛刀小試2 已知ABCD為長方形，AB=2，BC=1，O為AB的中點.在長方形ABCD內隨機取一點，取到的點到O的距離大于1的概率為.

三、轉化為求體積之比

例3 在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1內任取一點P，則點P到點A的距離小于等于a的概率為.

解析 由題設知，滿足到點A的距離小于等于a的點P的集合是以點A為球心且以a為半徑的球的18.故結合幾何概型可知，所求概率為P=18×43πa3a3=π6.

評注 本題具有綜合性，主要考查正方體、球、幾何概型知識以及空間想象能力.

牛刀小試3 在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1內任取一點M，設點O是底面正方形ABCD的中心，則點M到點O的距離不超過a2的概率為.

四、轉化為求角度之比

例4 在等腰Rt△ABC中，過直角頂點C在∠ACB內部作一條射線CM，與線段AB交于點M，則AM

解析 在線段AB上取點C′，使AC′=AC，則事件發生的區域為∠ACC′.

設事件N：“過點C在∠ACB內部作一條射線CM，與線段AB交于點M，使AM

P(N)=∠ACC′∠ACB=12(180°-45°)90°=34.

評注 本題極易出現錯解.審題時，要特別注意對“過直角頂點C在∠ACB內部作一條射線CM”這句話的準確理解、認識，由此可確定本題的測度應該是“角度”，而不是“長度”！

牛刀小試4 在△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，在∠BAC內作射線AM交BC于點M，則∠BAM<30°的概率為.

牛刀小試答案 1.13 2.1-π4 3.π12 4.25

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文