結構共性數學問題解決遷移方法探討

【摘要】在解題過程中，當遷移題和源題之間具有結構共同性，且表面相似和條件隱蔽性為中等程度時，通過“分解”出共同的結構，找到遷移的途徑；而當問題之間的結構共同性較為隱蔽時，則需要通過輔助線“勾勒”出潛在的結構共同性，以完成遷移.

【關鍵詞】數學問題解決遷移；結構共性；分解；構建

本文系2008年度湖南第一師范學院院級課題“全科型小學教師數學能力培養的實踐研究”（劉題編號為XYS08N12）的階段學生研究成果.

一、遷移問題是教學上一個極其重要的問題，它既是一種能力，也要講究方法

“學習的遷移問題是教學上一個極其重要的問題.它是檢驗知識傳授、能力發展等教學目標是否達到的可靠指標.”遷移能順利發生的前提之一，問題解決者要能在源題和遷移題之間產生問題共性意識.在數學問題解決遷移中，問題共性意識和問題本身難易程度相互作用，共同影響問題解決遷移.對處于五年一貫制一、二年級的初中畢業生而言，他們仍相當于處在中學數學階段，掌握好問題解決遷移方法，對提升解題水平、創造有效的教和學的模式大有裨益.

二、結構共性較隱蔽的數學問題解決遷移的方法探討

1.“分解”數學問題結構共性，找到遷移的途徑

問題之間的相似性能促進遷移.既有問題表面的相似，也有深層次上抽象原則的相似.抽象原則在正規問題中指公式，在無法定義的問題中，常常被稱為圖式或深層結構.“分解”問題之間的結構共性，是遷移常用的方法.看如下例題：

圖 1

例1 源題：如圖1，求圖中三角形的面積，其中雙曲線方程為y=kx.

遷移題：如圖2，已知曲線方程y=kx，直線方程y=x.求四邊形ABCD的面積.

圖 2

分析 由圖1易知，S△ABC=12#8226;2x#8226;2y=2xy=2|k|(x>0).

將圖2與圖1相比較，由題目條件很容易推出ABCD是一個平行四邊形，由兩個直角三角形Rt△ABD和Rt△CBD合成.設A(x，x)(x>0)，則B(x，0)，C(-x，-x)，D(-x，0).因此，可得SABCD=SRt△ABD+SRt△CBD=12#8226;2x#8226;x+12#8226;2x#8226;x=2x2.

2.添加輔助線，“勾勒”出數學問題之間的結構共性

當數學問題結構共性不明顯時，很難產生問題共性意識，要找到結構共性更是難上加難.筆者曾經對初二的學生做過一次實驗調查，將如下兩題分別設置為源題和遷移題，因為兩道題都要用到兩次三角形全等，故筆者稱之為具有相同的問題結構，也稱具有結構共性.題目如下：

圖 3

例2 源題：已知，如圖3，△ABC，△CED為等邊三角形，M，N為AD，BE的中點（A，C，E共線）.證明：△CMN為等邊三角形.

遷移題：如圖4，等腰Rt△ABC，∠CAB＝90°，D是AC中點，∠BDA=∠CDE，求證：BD⊥AE.

圖 4

源題的證明：

兩次三角形全等（證明略）.

第一次全等：△ACD≌△BCE（SAS）.

第二次全等：△ACM≌△BCN(SSS).

從源題證明到遷移題證明的遷移過程：

第一步，分析源題結構，得到解題啟發.

源題的證明用到了兩次三角形全等，這是一個非常明顯的特征，也是難點設置所在.初中二年級學生學完三角形全等以后，兩次全等已是知識靈活運用的較高水平了.而遷移題設置在源題之后，則暗示著兩題之間的證明有某種聯系.那么，是否也意味著要用到三角形全等呢？一次不行，是不是要兩次全等？但是，難點在于：初次看遷移題的圖形，一次全等都找不出來！那么，三角形全等是被“隱藏”起來了！需要通過輔助手段，把它們“勾勒”出來！

第二步，添加輔助線，直觀形象，找到突破口.

添加輔助線AFAF為斜邊的中垂線

添加輔助線后，由圖的直觀性，我們可由直覺猜測△ECD≌△HAD，并根據已知條件容易得到證明.（這是第一次三角形全等）

能想到添加這條輔助線，需要很強的直感.直感是運用表象對具體形象的直接判別和感知，它是直覺形成的基礎之一.數學直感是在數學表象基礎上對有關數學形象的特征判別.直感可以分為各種不同的形式，其中最主要的是形象識別直感、模式補形直感、形象相似直感和象質轉換直感.模式補形直感是利用主體已在頭腦中建構的數學表象模式，對具有部分特征相同的數學對象進行表象補形，實施整合的思維形式.如在幾何學中主要表現為輔助線的添加.而以上遷移題實際上就用到了通過直感，對圖形進行模式補形，將“缺損”的三角形全等這一結構“補”出來.

第三步，順藤摸瓜，找出結構，實現遷移.

圖 5

由第一次全等可得到，ED=HD，EC=HA.

設AE與BD交于點O，如圖5(下一步證明第二次三角形全等：△ECA≌△HAB).

又 CA=AB，∠C=∠HAB=45°，

∴△ECA≌△HAB，∴∠EAC=∠HBA.

又 ∠FBH=45°-∠HBA，

∠OAH=45°-∠EAC，∴∠FBH=∠OAH.

又 ∠FHB與∠OHA為對頂角，

∴在Rt△FBH和△HOA中有∠HOA=∠BFH=90°.

∴得證.

由此，我們也看到了添加輔助線的神奇的作用！

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文