淺論自回歸模型的自回歸分析與應用

【摘要】自回歸模型是近些年來人們在日常的生活工作中探索總結出來的.所以，討論非線性自回歸模型的自回歸分析與應用問題顯得尤為重要.線性回歸分析大致推廣到7種自回歸模型的自回歸分析，得到其參數的估計標準誤公式、估計公式、總體自回歸系數的檢驗統計量等系數.本文對此做了自回歸分析以及通過實際例子分析論證了自回歸模型的應用.

【關鍵詞】自回歸模型；自回歸分析；應用

一、自回歸模型的定義

自回歸模型的英文名稱為autoregressive model，它的意義是說利用初期的某個特定時刻的隨機變量的線性組合來描述后期某個時刻的隨機變量的自回歸模型.

二、自回歸模型類型的自回歸分析

自回歸模型的自回歸分析在于通過數學公式來概述一個變量是如何隨其他變量的改變而變化.

引理 {（x，y）}={(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，…，(xn，yn)}為已得到的統計資料，如果要建立線性回歸方程y=a+bx+ε，那么得到b=n∑xy-∑x∑yn∑x2-(∑x)2，=n-1(∑y-b∑x)，得到估計標準誤值Sxy=∑y2-∑y-b∑xyn-2.如果x=x0，y0=+bx0，得到y的平均值置信區間為0±t(n-2)a2Syx n-1+n(x0-x)2n∑x2-(∑x)2.

在水平α下校驗總體線性關系y=+βx+ε，即判斷H0：β是否為拒絕為0.最后檢驗統計量

t=bSyx∑x2-n-1(∑x)2~t(n-2)a2.

1.線性自回歸模型

序列{xt}為已知量，假設建立線性方程xt=a+bxt-1+ε，引理xt-1~x，xt~y，可以得到

b=(n-1)∑ni=2xi-1xi-∑ni=2xi-1∑ni=2xi(n-1)∑ni=2x2i-1-∑ni=2xi-12，xn+1=a+bxn，xn+1平均值置信區間為

n-1±t(n-3)a2Sxtxx-1#8226;

(n-1)-1+(n-1)xn-(n-1)-1∑ni=2xi-12(n-1)∑ni=2x2i-1-∑ni=2xi-12.

在水平α下校驗總體線性關系xt=a+βxt-1+ε，即判斷H0：β是否為拒絕為0.最后由引理可知xt-1~x，xt~y，xt-1~x，xt~y.

檢驗統計量

t=bSxtxt-1∑ni=2x2i-1-(n-1)-1∑ni=2xi-12~t(n-3)a2.

2.AR(p)模型

p階自回歸模型稱為AR(p)模型Xt=∑pj=2ajXt-j+εt(t∈Z).

當A(z)=1-∑pj=1ajzj(ap≠0)根均在單位圓外，εt~WN(0，σ2)，由此可得平穩時間序列為:平穩解或AR(p)序列;稱a=(a1，a2，…，ap)T是該模型的自回歸系數;那么A(z)=1-∑pj=1ajzj≠0，|z|≤1就是穩定性條件或者最小相位條件.A(z)=1-∑pj=1ajzj是該模型的特征多項式;另外AR(p)模型也可寫成:A(B)Xt=εt(t∈Z).

假定z1，z2，…，zk是A(z)的互異根，ρ為1<ρ<min{|zj|，j=1~k}，那么A-1(z)=1A(z)在|z|≤ρ內求解，繼而有級數展開A-1(z)=∑∞j=0Ψjzj，|z|≤ρ，在這其中，系數{Ψj}為平穩序列{Xt}的Wold系數.定義A-1(B)=∑∞j=0ΨjBj，所以Xt=A-1(B)εt=∑∞j=0Ψjεt-j(t∈Z)是AR(p)序列.

自回歸模型除以上描述的兩種意外還有非線性自回歸模型、S型曲線自回歸模型、冪函數自回歸模型等等，它能充分利用數學公式來解決各個方面的問題.

三、實例討論

我國某市的民營企業自1992年至2009年17年間的盈利分別為101，101，104，105，110，122，136，147，165，174，188，190，193，194，199，200，200，203(萬元)（數據經專業人士統計，后面小數點經四舍五入取整處理）.先取坐標（xt-1，xt）作散點圖，可以得出結論：該問題應該建立對數函數自回歸模型進行自回歸模型分析.利用專業軟件可以得到主要結果，Xt=3269540Lgxt-1-526.944+ε，SxtLgxt-1=3.34，x2009=204.就是說2010年該民營企業的稅后盈利約為204萬元；x2009的平均值置信水平α=0.05的區間為［200.5，207］，即該民營企業2010年稅后盈利的平均水平大約在200.5到207萬元之間；在顯著水平α=0.05的條件下檢驗總體對數函數Xt=α+βLgxt-1+ε，H0：β=0，H1：β≠0，t150040=2.5，可以明顯得到結果t=92.4>2.5，符合自回歸關系，因此，可以很大程度地肯定該民營企業稅后的盈利初后期數值在總體上存在著對數函數的自回歸關系.

除上述實例之外，還可以將其應用到井灌水稻需水量的應用過程中，將井灌水稻按生育期分為6個階段，排成時間序列，然后選取需水量及日均氣溫、日照時間等參數作為影響因素，采用多維自回歸模型進行分析，以6維序列帶入，分析得出井灌水稻各期間的需水量.

綜上所述，在人們的日常生活和工作中，已經極其頻繁地應用了自回歸模型的自回歸分析，如上文所舉實例，僅知道每年的利潤即可以得出很多相關數據，減少了統計的時間；為水稻種植提供了有效的分析方法，節約用水，促進農業發展，為可持續發展提供了有效依據.

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