一類三階非線性時滯微分方程的振動

【摘要】考慮一類三階非線性時滯微分方程(r2(t)r1(t)φ(x(t))x′(t))′)′+p(t)x′(t)+q(t)f(x(σ(t)))=0，t≥t0.通過構造適當的Riccati變換，并利用積分平均方法及完全平方技術，我們分別得到當p′(t)>0與p′(t)≤0時，方程的解振動或收斂于零的一些新的充分條件，推廣和改進了文獻［5］中的定理.

【關鍵詞】非線性微分方程；三階；Riccati變換

本文考慮一類三階非線性時滯微分方程

(r2(t)r1(t)φ(x(t))x′(t))′)′+p(t)x′(t)+q(t)f(x(σ(t)))=0，t≥t0.(1)

其中，t0≥0；r1，r2∈C′(［t0，∞)，(0，∞))，p∈C′(［t0，∞)，(0，∞))，q∈C(［t0，∞)，［0，∞))，且q(t)在任何子區間內不恒為零，σ∈C′(［t0，∞)，R)且0<σ(t)≤t，σ′(t)≥0，limt→∞σ(t)=∞，并且f∈C(R，R)對所有x∈R＼{0}有f(x)/x≥M>0；φ∈C′(R，(0，∞))且存在N1，N2，使得

0

方程(1)的解x(t)稱為振動的，如果它有任意大的零點；否則，稱為非振動的.稱方程(1)是振動的，如果它的所有解都振動.

近年來，帶有阻尼項的二階非線性微分方程的振動理論得到很大的發展，見文［1，2］，而對于三階非線性微分方程的振動性研究相對還比較少，可參見文［3，4，5］.在文獻［1］中，Mustafa與Rogovchenko研究了二階非線性微分方程(r(t)Ψ(x(t))x′(t))′+p(t)x′(t)+q(t)f(x(t))=0，t≥t0的解的振動性.在本文中，我們將得到方程(1)的振動或收斂于零的一些新的充分條件.

令x(t)是方程(1)的一個解，稱x在［T，∞)上有性質V2，T≥t0，如果它滿足t∈［T，∞)，x(t)x′(t)>0，x(t)(r1(t)φ(x(t))x′(t))′>0，x(t)(r2(t)(r1(t)φ(x(t))x′(t))′)′≤0.

定義函數：

R1(t，T)=∫tTdsr1(s)，R2(t，T)=∫tTdsr2(s)，t0≤T≤t<∞.

假設limt→∞R1(t，t0)=∞，(3)

limt→∞R2(t，t0)=∞.(4)

引理1 假設條件(2)成立，且

(r2(t)z′(t))′+p(t)N1r1(t)z(t)=0(5)

是非振動的.若x是(1)的非振動解，那么，存在T≥t0，使得

x(t)x′(t)>0，t∈［T，∞)

或x(t)x′(t)<0，t∈［T，∞).

證明 令x(t)是(1)的非振動解，不妨設為最終正解，則存在T≥t0，使當t≥T時，x(t)>0，x(σ(t))>0.令

y(t)=-r1(t)φ(x(t))x′(t)，則

(r2(t)y′(t))′+p(t)y(t)r1(t)φ(x(t))

=q(t)f(x(σ(t))).（6）

下面證明y(t)非振動.若不然y(t)是振動的，設{tk}是y(t)的零點列，使y(t)在(ti，ti+1)內無零點.先證明y(t)在(ti，ti+1)內有y(t)<0.事實上，若當t∈(ti，ti+1)時，有y(t)>0.此時，y′(ti)≥0，y′(ti+1)≤0.由（6）得

(r2(t)y′(t))′+p(t)y(t)N1r1(t)≥q(t)f(x(σ(t))).

令z是(5)的解，設z(t)>0，t≥t0.則由（5）及上式有

(z(t)r2(t)y′(t)-y(t)r2(t)z′(t))′≥

z(t)q(t)f(x(σ(t))).

從ti到ti+1積分，有

0≥z(ti+1)r2(ti+1)y′(ti+1)-z(ti)r2(ti)y′(ti)≥

∫i+1iz(s)q(s)f(x(σ(s)))>0.

矛盾.故在(ti，ti+1)內有y(t)<0，從而y′+(ti)≤0，y′-(ti)≥0，于是y′(ti)=0，且在(ti，ti+1)內，有

(r2(t)y′(t))′+p(t)N2r1(t)y(t)≥q(t)f(x(σ(t))).

又由（2）及Sturm比較定理知，

(r2(t)z′(t))′+p(t)N2r1(t)z(t)=0是非振動的，有

(r2(t)y′(t)z(t)-r2(t)z′(t)y(t))′≥

z(t)q(t)f(x(σ(t))).

從ti到ti+1積分有

0≥∫i+1iz(s)q(s)f(x(σ(s)))ds>0.

矛盾.故y(t)非振動，從而，存在T′≥T，使當t≥T′時，y(t)>0或y(t)<0.引理證畢.

引理2 令假設(2)，(4)成立，且x是方程(1)的非振動解，使得對任意t≥T≥t0，x(t)x′(t)≥0，那么，對所有充分大的t，y有性質V2.

引理2的證明與［5］中引理2的證明類似，我們略去.

定理 假設(2)，(3)，(4)成立，方程(5)非振動，且

lim supt→∞∫tT1r1(s)∫tsp(u)r2(u)duds<∞.（7）

lim supt→∞∫tT1r1(s)∫ts1r2(u)(∫∞u(Mq(τ)-p′(τ))dτ)duds=∞.（8）

若存在ρ∈C′(［t0，∞)，(0，∞))，使得對每個T，有

lim supt→∞∫tTMρ(s)q(s)-r1(σ(s))(N2ρ′(s)r1(s)-ρ(s)p(s)R2(σ(s)，T))24N2ρ(s)R2(σ(s)，T)σ′(s)r21(s)ds=∞.（9）

則方程(1)的每個解x是振動的，或滿足當t→∞時，x(t)→0.

證明 設x是(1)的一個最終正解，則存在T≥t0，使得當t≥T時，有x(t)>0，x(σ(t))>0.由引理1，x′(t)最終定號.

若存在t*≥T，使當t≥t*時，x′(t)>0，那么，由引理2知，x有性質V2.故

r1(σ(t))φ(x(σ(t)))x′(σ(t))

≥∫σ(t)t1(r1(s)φ(x(s))x′(s))′ds

≥R2(σ(t)，t1)r2(σ(t))(r1(σ(t))φ(x(σ(t)))x′(σ(t)))′

≥R2(σ(t)，t1)r2(t)(r1(t)φ(x(t))x′(t))′.(10)

令ω(t)=ρ(t)r2(t)(r1(t)φ(x(t))x′(t))′x(σ(t))，t≥T，(11)

那么ω(t)>0.由(1)和(10)有

ω′(t)=ρ′(t)ρ(t)ω(t)+ρ(t)-p(t)x′(t)-q(t)f(x(σ(t)))x(σ(t))-

ρ(t)r2(t)(r1(t)φ(x(t))x′(t))′x′(σ(t))σ′(t)x2(σ(t))≤

-Mρ(t)q(t)-ω2(t)R2(σ(t)，T)σ′(t)N2ρ(t)r1(σ(t))-ω(t)ρ′(t)ρ(t)-p(t)R2(σ(t)，T)N2r1(t)<

-Mρ(t)q(t)+r1(σ(t))(N2ρ′(t)r1(t)-ρ(t)p(t)R2(σ(s)，T))24N2ρ(t)R2(σ(t)，T)σ′(t)r21(t).

對上式兩邊從T到t積分，有

∫tTMρ(s)q(s)-r1(σ(s))(N2ρ′(s)r1(s)-ρ(s)p(s)R2(σ(s)，T))24N2ρ(s)R2(σ(s)，T)σ′(s)r21(s) ds≤ω(T)，

與(9)矛盾.故存在t*≥T，使當t≥t*時，x′(t)<0.

下面證明(r1(t)φ(x(t))x′(t))′≤0不能最終成立，即對任意的T>t0，都存在t*>T，使(r1(t)φ(x(t))x′(t))′>0.若(r1(t)φ(x(t))x′(t))′≤0最終成立，則r1(t)φ(x(t))x′(t)為非增函數，從而存在t2≥t0，使當t≥t2時有x′(t)≤r2(t2)x′(t2)φ(x(t2))r1(t)φ(x(t)).再由(3)可得x(t)<0，與x(t)為最終正解矛盾.故存在點列{tn}，使得limn→∞tn=∞且

(r1(t)φ(x(t))x′(t))′|t=tn>0.

如果limt→∞x(t)=λ>0，對任意s≥t*，存在n，使s∈［tn-1，tn），對方程（1）從s到tn積分，利用分部積分公式，結合條件(2)可得

r2(s)(r1(s)φ(x(s))x′(s))′+p(s)x(s)

≥r2(tn)(r1(tn)φ(x(tn))x′(tn))′+p(tn)x(tn)+

∫tnsx(u)f(x(σ(u)))x(u)q(u)-p′(u)du

≥λ∫∞s［Mq(u)-p′(u)］du.

從而還有-r1(s)φ(x(s))x′(s)≥-∫tnsp(u)x(u)r2(u)du+λ∫tns1r2(u)∫∞u［Mq(τ)-p′(τ)］dτdu.

由此可得：

x(tn)≤x(t*)+x(t*)∫tns1N1r1(s)∫tnsp(u)r2(u)duds-λ∫tns1N2r1(s)∫tns1r2(u)∫∞u［Mq(τ)-p′(τ)］dτduds.

由(7)，(8)知，對充分大的n有x(tn)<0矛盾.故limt→∞x(t)=0.定理證畢.

注1：取N1=N2=1，則由定理可直接推出［5］中的定理1.

注2：若p′(t)≤0，則條件(8)變為:

lim supt→∞∫tT1r1(s)∫ts1r2(u)(∫∞uMq(τ)dτ)duds=∞，

定理的其他條件不變，則其結論依然成立.

【參考文獻】

［1］O G Mustafa， S P Rogovchenko.Oscillation of nonlinear second order differential equations with damping term［J］.J Math Anal Appl， 2004，298:604-620.

［2］張全信，燕居讓.一類二階非線性阻尼微分方程的振動性［J］.系統科學與數學，2004，24(3):296-302.

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［4］A Tiryaki，S Yanman.Oscillatory behaviour of a class of nonlinear differential equations of third order［J］.Acta Math Sci，2001，21(2):182-188.

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