構造向量的內積證明不等式例說

向量，因它在數學、物理學等領域的廣泛應用，已經作為當今中學生的必修知識列入了中學數學的教科書.向量作為數形結合的工具，不僅能夠解決幾何問題，同樣也能夠解決代數問題.本文就構造向量，利用其內積（數量積）證明不等式，作一粗淺的探討.

利用向量的內積證明不等式，解法極為簡捷規范，其關鍵與難點在于根據題給不等式的結構特征巧構兩個向量.

現例說如下：

例1 設a，b，c為任意實數，求證：a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).

證明 設OA=(ab，bc，ca)，OB=(bc，ca，ab)，向量OA與OB的夾角為θ(0≤θ≤π).

∵|OA|=|OB|=a2b2+b2c2+c2a2，

∴OA#8226;OB=|OA||OB|cosθ=(a2b2+b2c2+c2a2)cosθ.

又 OA#8226;OB=ab2c+bc2a+ca2b=abc(a+b+c)，

∴(a2b2+b2c2+c2a2)cosθ=abc(a+b+c).

而|cosθ|≤1，因此a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).

例2 設a，b，c∈R+，求證：ab+c+bc+a+ca+b≥32.

證明 設OA=ab+c， bc+a， ca+b，

OB=(a(b+c)，b(c+a)，c(a+b))，

向量OA與OB的夾角為θ（0≤θ≤π）.

∵|OA|=ab+c+bc+a+ca+b，

|OB|=2(ab+bc+ca)，

∴OA#8226;OB=|OA||OB|cosθ

=ab+c+bc+a+ca+b2(ab+bc+ca)cosθ.

又 OA#8226;OB=a+b+c，

∴ab+c+bc+a+ca+b2(ab+bc+ca)cosθ=a+b+c.

而|cosθ|≤1，故ab+c+bc+a+ca+b≥(a+b+c)22(ab+bc+ca).

∵(a+b+c)2=(a2+b2+c2)+2(ab+bc+ca)

≥3(ab+bc+ca)，

∴ab+c+bc+a+ca+b≥32.

例3 (1988年第二屆“友誼杯”國際中學數學競賽題)設a，b，c∈R+，求證：a2b+c+b2c+a+c2a+b≥a+b+c2.

證明 設OA=ab+c， bc+a， ca+b，

OB=(b+c，c+a，a+b)，

向量OA與OB的夾角為θ(0≤θ≤π).

∵|OA|=a2b+c+b2c+a+c2a+b，|OB|=2(a+b+c)，

∴OA#8226;OB=|OA||OB|cosθ

=a2b+c+b2c+a+c2a+b2(a+b+c) cosθ.

又 OA#8226;OB=a+b+c，

∴a2b+c+b2c+a+c2a+b2(a+b+c) cosθ=a+b+c.

而|cosθ|≤1，∴a2b+c+b2c+a+c2a+b≥a+b+c2.

例4 (1995年第36屆IMO試題)設a，b，c∈R+，且abc=1，求證:1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)≥32.

證明 設OA=(a(b+c)，b(c+a)，c(a+b))，

OB=bca(b+c)，cab(c+a)，abc(a+b)，

向量OA與OB的夾角為θ(0≤θ≤π).

∵|OA|=2(ab+bc+ca)，

|OB|=b2c2a(b+c)+c2a2b(c+a)+a2b2c(a+b)，

∴OA#8226;OB=|OA||OB|cosθ

=2(ab+bc+ca)#8226; b2c2a(b+c)+c2a2b(c+a)+a2b2c(a+b)cosθ.

又 OA#8226;OB=ab+bc+ca，

∴2(ab+bc+ca) b2c2a(b+c)+c2a2b(c+a)+a2b2c(a+b)cosθ

=ab+bc+ca.

而|cosθ|≤1，

∴b2c2a(b+c)+c2a2b(c+a)+a2b2c(a+b)≥ab+bc+ca2.

注意到a，b，c∈R+，abc=1，

∴ab+bc+ca≥33(abc)2=3，

且1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)

=b2c2a(b+c)+c2a2b(c+a)+a2b2c(a+b).

∴1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)≥32.

從上述數例不等式的證明中可以看出，巧妙地構造向量，利用其內積（數量積）證明不等式，解法思路簡捷、規范，起到了化繁為簡，化難為易，解法新穎，事半功倍的效果.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文