單位球上從BMOA空間到Bloch型空間的緊加權復合算子

【摘要】本文主要討論單位球上從BMOA空間到小Bloch型空間上的加權復合算子.給出了算子uCφ：BMOA→βα(Bn)是緊算子的充分必要條件.

【關鍵詞】BMOA空間；Bloch型空間；加權復合算子；緊性

1.引 言

設Bn是n維復空間Cn中的單位球，Sn表示單位球面；H(Bn)表示單位球上全純函數類，H(Bn，Bn)表示單位球上的全純自映射.dV表示單位球上的規范化體積測度，dσ表示單位球面上規范化面積測度，即V(Bn)=1，σ(Sn)=1.

如果0

‖f‖pp=sup0

則稱f屬于Hardy空間Hp.Bn上全純函數f∈H2(Bn)滿足條件‖f‖2BMO=|f(0)|2sup1σ(Q)∫Q|f-fQ|2dσ(ξ)<∞，則稱f屬于BMOA空間.其中，fQ=1σ(Q)∫Qfdσ是函數f在Q上的平均值.0<α<∞，f∈H(Bn)，且滿足條件

‖f‖βα=supz∈Bn(1-|z|2)α｜f(z)|<∞，

則稱f屬于α-Bloch空間βα(Bn).其中f(z)=fz1(z)，…，fzn(z)表示函數r的復梯度.設u∈H(Bn)，φ∈H(Bn，Bn)，定義H(Bn)上的加權復合算子uCφ為：

uCφf(z)=u(z)f(φ(z))，f∈H(Bn).

本文中，C表示與變量無關的正常數，處在不同位置其值不必相同.

2.一些引理

引理1 ‖f‖BMO≈supz∈Bn∫Bn|f(w)|2(1-|(w)|2)#8226;(1-|z|2)n|1-〈z，w〉|2ndV(w).

引理2 設u∈H(Bn)，φ∈H(Bn，Bn)，如果算子uCφ：BMOA→βα0(Bn)，那么uCφ是緊算子的充要條件是對于BMOA(Bn)中的任一有界序列{fn}，如果{fn}在Bn內閉一致收斂于0，則limn→∞‖uCφ(fn)‖βα=0.

引理1和引理2的證明可參閱文獻［1］.

3.主要結論

定理 設u∈H(Bn)，φ∈H(Bn，Bn)，設uCφ：BMOA→βα(Bn)有界，則uCφ是緊算子的充要條件是

lim|φ(z)|→1(1-|z|2)α|u(z)|ln21-|φ(z)|2=0，（1）

lim|φ(z)|→1(1-|z|2|α1-|φ(z)|2|u(z)||Jφ(z)|=0.（2）

證明 假設uCφ是緊算子，令{zn}是Bn中的一個序列使得當n→∞時，|φ(zn)|→1.令fn(z)=1-|φ(zn)|21-〈z，φ(zn)〉，由引理1知{fn}是BMOA空間中的一個有界序列，且{fn}在Bn上內閉一致收斂于0.由于uCφ是緊算子，由引理2知‖uCφfn‖βα→0，n→∞.由范數定義知

‖uCφfn‖βα≥supz∈Bn(1-|z|2)α|(uCφfn)(z)|≥

(1-|z|2)α|u(zn)|-

(1-|zn|2)α1-|φ(zn)|2|u(zn)||φ(zn)||Jφ(zn)|.

由lim|φ(z)|→1(1-|zn|2)α|u(zn)|=0知，

lim|φ(z)|→1（1-|zn|2)α1-|φ(zn)|2|u(zn)||Jφ(zn)|=0.

對Bn中的一個序列{zn}使得當n→∞時，|φ(zn)|→1.令fn(z)=ln21-|φ(zn)|2-1ln21-〈z，φ(zn)〉2，由引理1知{fn}是BMOA空間中的一個有界序列，且{fn}在Bn上內閉一致收斂于0.

于是0←‖uCφfn‖βα≥|（1-|zn|2|α）u(zn)|#8226;ln21-|φ(zn)|2-2(1-|zn|2)α|u(zn)||φ(zn)|Jφ(zn)||1-|φ(zn)|2.

于是lim|φ(zn)|→1(1-|zn|2)α|u(zn)|ln21-|φ(zn)|=0.

假設式（1）和式（2）成立，則對ε>0，δ∈(0，1)使得當1-δ<|φ(z)|<1時，(1-|z|2)α|u(z)|.ln21-|φ(z)|2<ε；(1-|z|2)α1-|φ(z)|2|u(z)||Jφ(z)|<ε.因此，當1-δ<|φ(z)|<1時，有(1-|z|2)α|(uCφfn)(z)|≤Cε；當|φ(z)|≤1-δ時，|fn(w)|與(1-|w|2)α|fn(w)|一致收斂于0.

由uCφ：BMOA→βα(Bn)有界，知u∈βα(Bn)且(1-|z|2)α1-|φ(z)|2|u(z)||Jφ(z)|≤C.

所以(1-|z|2)α|(uCφfn)(z)|→0，n→∞.

又由于|（uCφfn)(0)|→0(n→∞)知‖uCφfn‖βα→0，n→∞，故算子uCφ是緊算子.定理證畢.

【參考文獻】

［1］Li Songying， Long Sujuan.Compact composition operators on BMOA(Bn)［J］.Science in China SeriseA：Mathematics，2009， 52(12)：2679-2687.

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［3］R.Timoney.Bloch functions in several complex variables(I)［J］.Bull.London Math.Soc.，1980，12(4)：241-267.

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［4］李頌孝.從BMOA空間到Bloch空間的加權復合算子［J］.山西師范大學學報（自然科學版），2005，19(1)：11-13.

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