例談均值定理的運用

均值定理在高中數學中占有重要一席，它有比較廣泛和靈活的運用，在使用均值定理時，需要注意其成立的條件和各項演變.下面以具體的實例加以展示，以便與大家共勉.

例1 求證：lg9#8226;lg11＜1.

分析 9與11均大于0，9×11接近100，lg100=2，不妨聯想到用均值定理.

證明 ∵lg9≠lg11，lg9＞0，lg11＞0，

∴lg9#8226;lg11＜lg9+lg1122

=lg9922

即lg9#8226;lg11＜1.

例2 已知x＞0，y＞0，且xy=x+y+1，求x+y的最小值.

分析 由xy=x+y+1，得（x-1）(y-1)=2，而x＞0，y＞0，因此x-1＞0，y-1＞0，求最小值不妨用均值定理.

解 由xy=x+y+1，得（x-1）(y-1)=2，而x＞0，y＞0，

∴x-1＞0，y-1＞0.

則x+y=（x-1）+(y-1)+2≥2+2(x-1)(y-1)=2+22，

即當x=y=1+2時，x+y的最小值為2+22.

例3 設x，y，z＞0，且x+3y+4z=6，求x2y3z的最大值.

分析 x，y，z＞0，求最大值問題易聯想到構造使用均值定理.

解 x，y，z＞0，x+3y+4z=6，

∴6=x+3y+4z=x2+x2+y+y+y+4z≥66x2y3z，

∴x2y3z≤1.

（當x2=y=4z時，取“=”號）

即x=2，y=1，z=14時，x2y3z取得最大值1.

例4 已知x＞1，y＞2，且x+y=15，求（x-1）2（y-2）的最大值.

分析 x＞1，y＞2，求最大值聯想到x-1＞0，y-2＞0，構造并使用均值定理即可.

解 由x+y=15，得（x-1）+（y-2）=12，

即12=12（x-1）+12（x-1）+（y-2）≥3#8226;314(x-1)2(y-2).

則（x-1）2（y-2）≤44=256.

（當12（x-1）=y-2時，取“=”號）

即當x=9，y=6時，（x-1）2（y-2）的最大值為256.

例5 設x＞0，y＞0且x+y=1，求證：1+1x1+1y≥9.

分析 因為x＞0，y＞0，x+y=1，不妨設x=aa+b，y=ba+b，a＞0，b＞0，然后代入展開使用均值定理.

證明 設x=aa+b，y=ba+b（a＞0，b＞0），

則1+1x1+1y

=1+1x+1y+1xy

=1+a+ba+a+bb+(a+b)2ab

=3+ba+ab+a2+ab+b2+abab

≥3+2ba#8226;ab+3ab+abab

=3+2+4=9，

即1+1x1+1y≥9.

例6 已知a＞0，b＞0，a+b=1，求證：a+1ab+1b≥254.

證明 要證a+1ab+1b≥254，

只需證（a2+1）(b2+1)≥254ab，

即a2+b2+a2b2+1≥254ab.

只需證明：1-2ab+a2b2+1≥254ab，

即8-8ab+4a2b2≥25ab，

也即要證4（ab）2-33ab+8≥0，

(4ab-1)(ab-8)≥0.（1）

∵ab≤14，則4ab≤1.又ab-8＜0，

∴（1）式成立，從而有原不等式

a+1ab+1b≥254成立.

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