變式教學(xué)——激活學(xué)生思維的鑰匙

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》關(guān)于高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的教學(xué)目標(biāo)之一：學(xué)會(huì)自主進(jìn)行學(xué)習(xí)，獨(dú)立探究問(wèn)題；對(duì)知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)整理；會(huì)對(duì)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行反思、質(zhì)疑，有發(fā)散思維和求異思維的積極心向，能提出自己的獨(dú)立見(jiàn)解.提出問(wèn)題不僅有利于促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，提高他們的學(xué)習(xí)興趣，而且有助于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的創(chuàng)造潛能，為終身學(xué)習(xí)和畢生的發(fā)展奠定基礎(chǔ).眾所周知，高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)內(nèi)容多，范圍廣，既要狠抓基礎(chǔ)，系統(tǒng)整理知識(shí)的脈絡(luò)結(jié)構(gòu)，查漏補(bǔ)缺，又得兼顧提高，融會(huì)貫通，面對(duì)千頭萬(wàn)緒，如何有條不紊地幫助學(xué)生通過(guò)觀察，搜索，整理積累，抽象概括，創(chuàng)造性地進(jìn)行復(fù)習(xí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是每一個(gè)高三教師面臨的重要課題.我們認(rèn)為在實(shí)際教學(xué)中，應(yīng)摒棄題海戰(zhàn)術(shù)，積極采用變式教學(xué)，串點(diǎn)成線，精心選編復(fù)習(xí)內(nèi)容，將有利于提高高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)效率.

在一次溫州市樂(lè)清與龍灣跨區(qū)域的高三數(shù)學(xué)教學(xué)聯(lián)誼研討活動(dòng)中，其中“導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（一）”（利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性）這節(jié)公開(kāi)課讓與會(huì)人員感悟至深，課堂教學(xué)中不僅考查學(xué)生的解題能力，還考查學(xué)生提出問(wèn)題的能力，執(zhí)教者從問(wèn)題情景的設(shè)置、師生互動(dòng)的和諧、恰時(shí)恰點(diǎn)的提問(wèn)、激活思維的變式、扎實(shí)有效的功底給觀課老師留下了深刻印象.同時(shí)也給評(píng)課帶來(lái)了許多不同的著力點(diǎn)，給聯(lián)誼研討活動(dòng)留下了很大的反思與探討的空間，與會(huì)教師都覺(jué)得收獲頗豐.下面是“導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（一）”的教學(xué)案例.

一、奠 基

問(wèn)題 判斷函數(shù)f(x)＝x-ln(x+2)，x∈(0，＋∞)的單調(diào)性.

師：判斷函數(shù)的單調(diào)性有哪些方法？

生1：圖像法、定義法、利用已知函數(shù)單調(diào)性法（如復(fù)合函數(shù)、單調(diào)函數(shù)的加、乘等）、導(dǎo)數(shù)法.

生2：此題用前三種方法都不合適，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)法.

師：導(dǎo)數(shù)法的理論依據(jù)是什么？

生3：f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，若f′(x)>0(f′(x)<0)，則f(x)在(a，b)上為增（減）函數(shù).

略解 ∵f′(x)＝12x-12-1x+2=(x-1)2+12x(x+2)>0，

∴f(x)在x∈(0，+∞)是增函數(shù).

二、變式與探究

1.信息變遷

變式一 題中“2”改為“1”，即判斷函數(shù)f(x)＝x-ln(x+1)，x∈(0，＋∞)的單調(diào)性.

生4：做法類似，即f′(x)＝…=(x-1)22x(x+1)≥0，∴f(x)在x∈(0，+∞)是增函數(shù).

生５：不對(duì)，因?yàn)閒(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，若f′(x)>0，則f(x)在(a，b)上為增函數(shù)；若f′(x)＝0，則f(x)在(a，b)上為常函數(shù).所以應(yīng)區(qū)別對(duì)待.

生６：沒(méi)有關(guān)系，只有x＝１時(shí)f′(x)＝0.

生７：在某點(diǎn)f′(x)＝0，又f(x)在該點(diǎn)連續(xù)（可導(dǎo)必連續(xù)），不影響結(jié)果.

生８：多幾點(diǎn)也沒(méi)關(guān)系.

師：f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，有限多個(gè)點(diǎn)處f′(x)＝0，而其余各點(diǎn)處f′(x)同為正（或同為負(fù)），則f(x)在這個(gè)區(qū)間仍是增（減）函數(shù).

總結(jié) f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo).

①當(dāng)f′(x)>0時(shí)，f(x)在(a，b)上為增函數(shù)；

當(dāng)f′(x)<0時(shí)，f(x)在(a，b)上為減函數(shù)；

當(dāng)f′(x)＝0時(shí)，f(x)在(a，b)上為常函數(shù).

②若f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且有限多個(gè)點(diǎn)處f′(x)＝0，則f(x)在(a，b)上仍為增（減）函數(shù).

③f(x)在(a，b)上為增（減）函數(shù)，f′(x)≥0(f′(x)≤0).

練習(xí)1

①設(shè)函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y=f（x）的圖像如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖像可能是().

②判斷函數(shù)y=x3的單調(diào)區(qū)間.

③已知函數(shù)y=12x3+2x2+x+2，則它的單調(diào)遞增區(qū)間是().

A.(-2，+∞)

B.-1，-13

C.(-∞，-1)與-13，+∞

D.R

學(xué)生解后口答：①D；②（-∞，+∞)；③B.

師：有了導(dǎo)數(shù)這個(gè)工具，函數(shù)的單調(diào)性很容易判斷，下面繼續(xù)用這個(gè)工具研究函數(shù)的單調(diào)性.

2.條件變遷

變式二 變式一中“１”改為“a”，題目改為：已知a>0時(shí)，函數(shù)f(x)=x-ln(x＋a)，x∈（0，+∞)的單調(diào)區(qū)間恰有三個(gè)，求a的取值范圍.

師：其實(shí)也需求f(x)的單調(diào)區(qū)間.

生9：f′(x)＝…=(x-1)2+(a-1)2x(x+a).

當(dāng)a>1時(shí)，f′(x)>0，∴f(x)在x∈(0，+∞)是增函數(shù).

當(dāng)a=1時(shí)，f′(x)≥0，其中x=1時(shí)f′(x)=0，x≠1時(shí)f′(x)>0，∴f(x)在x∈(0，+∞)仍是增函數(shù).∴a≥1時(shí)不合題意.

當(dāng)0

綜上所述：0＜a＜1.

師：若將題目改為：當(dāng)a>0時(shí)，判斷函數(shù)f(x)＝x-ln(x+a)，x∈(0，＋∞)的單調(diào)性.

生10：與上題類似.

師：這就是高考的一道解答題，此題蘊(yùn)涵著數(shù)學(xué)中重要的思想方法：分類討論.你看，我們?cè)诓恢挥X(jué)中解決了一道高考題.咦，高考題其實(shí)也不難嘛！高考真的離我們?cè)絹?lái)越近了.（學(xué)生會(huì)心地笑了）

練習(xí)2

①如果f(x)=ax3-x2+x-5在x∈(-∞，+∞)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是.

②研究函數(shù)f(x)=ax3+bx2-1ax+1的單調(diào)性，其中a≠0.

解 ①由題意，得f′(x)=3ax2-2x+1≥0恒成立.

當(dāng)a=0時(shí)，不合題意；

當(dāng)a≠0時(shí)，a>0，Δ≤0，即a≥13.

②∵f′(x)=3ax2+2bx-1a，

當(dāng)a＞0時(shí)，f′(x)＞0，則f(x)在-∞，-b-b2+33a，-b+b2+33a，+∞上單調(diào)遞增，在-b-b2+33a，-b+b2+33a上單調(diào)遞減.

當(dāng)a＜0時(shí)，則f(x)在-b-b2+33a，-b+b2+33a上單調(diào)遞增，在-∞，-b-b2+33a，-b+b2+33a，+∞上單調(diào)遞減.

3.拓展信息

變式三 求證：x≥lnx+1.

生11：可用圖像法，在同一坐標(biāo)系中畫出y=x，y=lnx+1的圖像，圖y=x在圖y=lnx+1的上方即可.

生12：圖像法只能初步判斷，不能作為嚴(yán)格證明的依據(jù).

師：可否由變式一得到啟發(fā)？（停頓片刻）

生13：構(gòu)造函數(shù)f(x)＝x-ln(x+1).

∵f′(x)＝…=(x-1)22x(x+1)≥0，

∴f(x)在x∈(0，+∞)是增函數(shù).

又 f(x)在x=0處右連續(xù)，

∴f(x)在x∈［0，+∞)是增函數(shù).

∴當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥f(0)=0，∴x≥lnx+1.

師：此題用初等方法較難解決，而通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)法輕松地解決了，這充分體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的優(yōu)越性.

4.存在性變遷

變式四 求證：方程x=lnx+1只有一個(gè)實(shí)根x=0.

師：此題應(yīng)分兩步：先證有，再證只有.

生14：方程中必須滿足x≥0.

當(dāng)x=0時(shí)，左=0，右=0，

∴方程x=lnx+1有一個(gè)實(shí)根x=0.

構(gòu)造函數(shù)f(x)＝x-ln(x+1).

∵當(dāng)x＞0時(shí)，f′(x)＝…=(x-1)22x(x+1)≥0，

∴f(x)在x∈(0，+∞)是增函數(shù)，

∴f(x)＞f(0)=0，即x＞lnx+1，

∴方程x=lnx+1只有一個(gè)實(shí)根x=0.

師：通過(guò)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，不僅能證明不等式，而且能證明方程根的問(wèn)題.

練習(xí)3 已知0＜x＜π2，求證：tanx＞x.

證明 設(shè)f(x)=tanx-x，∵0＜x＜π2，

∴f′(x)=sinxcosx′-1=sin2x+cos2xcos2x-1

=sec2x-1=tan2x＞0.

∴f(x)在0，π2是增函數(shù)，

∴f(x)＞f(0)=0，∴tanx＞x.

師：用導(dǎo)數(shù)這個(gè)工具研究函數(shù)的單調(diào)性有很大的優(yōu)越性，多用工具，用好工具，你將受益匪淺.

5.反思性思考

變式五 在函數(shù)f(x)的連續(xù)區(qū)間內(nèi)，如果在有限多個(gè)點(diǎn)處f′(x)＝０或f′(x)不存在，而在其余各點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)均為正（負(fù)），那么函數(shù)f(x)在這個(gè)區(qū)間上仍是單調(diào)遞增（減）嗎？（提示：借助函數(shù)y＝x3，y=x13可說(shuō)明）

三、案例反思

1.本設(shè)計(jì)中一道題和五種變式是漸進(jìn)的、有層次的，每一變式都是在上一變式的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，每一變式都為下一變式的解決搭橋鋪路，使得整堂課從淺到深，從易到難，融會(huì)貫通，一氣呵成，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.

2.從變式一中f′(x)≥0的討論、變式二分類討論思想的滲透、變式三的思維拓展、變式四函數(shù)的構(gòu)造、變式五反思性思考，串成了本節(jié)課的一個(gè)鏈條，這樣的設(shè)計(jì)有利于分散難點(diǎn)，達(dá)到突破難點(diǎn)的作用，同時(shí)也突出了重點(diǎn).

3.對(duì)于高三復(fù)習(xí)，教師設(shè)計(jì)例子的時(shí)間花得多一點(diǎn)，學(xué)生練習(xí)的時(shí)間就會(huì)少一點(diǎn)；設(shè)計(jì)的例題精一點(diǎn)，學(xué)生就會(huì)學(xué)得活一點(diǎn)、輕松一點(diǎn).在實(shí)際教學(xué)中我們應(yīng)摒棄題海戰(zhàn)術(shù)，積極采用變式教學(xué)，將題目串點(diǎn)成線，“變”既可以變內(nèi)容，也可以變形式，還可以變問(wèn)題的情景，等等，對(duì)于同一個(gè)規(guī)則可以設(shè)計(jì)出各種不同的形式.

由此案例，通過(guò)多方位、多角度地對(duì)問(wèn)題研究到問(wèn)題提出的過(guò)程加以變式、改造和拓展，運(yùn)用數(shù)學(xué)研究的思想方法，感悟問(wèn)題研究的基本策略，進(jìn)一步提升了學(xué)生思維的品質(zhì)，發(fā)展了他們的創(chuàng)造性思維.高三數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要改變學(xué)生單純地接受性學(xué)習(xí)方式，改變“死”做題的學(xué)習(xí)方式，要讓學(xué)生融入探索和研究的情景，要不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)水平，培養(yǎng)問(wèn)題意識(shí)、敏銳的觀察能力、豐富的想象能力、發(fā)散的思維能力和深刻的洞察能力等技能要素，使變式教學(xué)真正成為激活學(xué)生思維的鑰匙.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文