圓錐曲線的一個性質及應用

【摘要】從數量上刻畫：圓錐曲線焦點弦的傾斜角，所得兩段焦半徑長度的比值，離心率，三者間的內在聯(lián)系.并敘述了這一性質在實際問題中廣泛、靈活地應用.

【關鍵詞】圓錐曲線；性質；應用

一、性質敘述

已知圓錐曲線C對應標準方程，它的一個焦點為F，過F作一條傾斜角為α的直線交曲線C于A，B兩點，若AF=λFB，則當焦點在x軸上時，有|cosα|=1e#8226;λ-1λ+1；當焦點在y軸上時，有|sinα|=1e#8226;λ-1λ+1.

二、性質證明

例1 如圖，橢圓C焦點在x軸上，F(xiàn)為橢圓的右焦點，過F作傾斜角為α的直線交橢圓于A，B兩點，且AF=λFB.

求證：|cosα|=1e#8226;1-λ1+λ.

證明 如右圖，直線l為橢圓的右準線，過A作AA′⊥l于A′，過B作BB′⊥l于B′，過A作AD⊥BB′于D，

則|AA′|=1e|AF|，|BB′|=1e|BF|，

∴|BD|=|BB′|-|AA′|

=1e(|BF|-|AF|)=1e|1-λ||BF|.

又 ∵|BD|=|AB||cosα|=(1+λ)|BF|，

∴(1+λ)|BF||cosα|=1e(1-λ)|BF|.

∴|cosα|=1e#8226;1-λ1+λ.證畢.

其他形式留讀者自行證明.

三、性質應用

例2 已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的右焦點為F，過F且斜率為3的直線交C于A，B兩點，若AF=4FB，則C的離心率為().

A.65

B.75

C.85

D.95

解 ∵|cosα|=1e#8226;λ-1λ+1，

∴e=1|cos|α#8226;1-λ1+λ=21-41+4=65.所以選A.

例3 (浙江省育才中學2009學年第一學期第二次月考，第22題)已知M(-3，0)，N(3，0)，P為坐標平面上的動點，且直線PM與直線PN的斜率之積為常數m(m≥-1，m≠0).

(1)求P點的軌跡方程并討論軌跡是什么曲線；

(2)若m=-59，P點的軌跡為曲線C，過點Q(2，0)、斜率為k1的直線l1與曲線C交于不同的兩點A，B，線段AB的中點為R，直線OR(O為坐標原點)的斜率為k2，求證：k1k2為定值；

（3）在（2）的條件下，設QB=λAQ，且λ∈［2，3］，求l1在y軸上的截距的變化范圍.

解析 第（1）（2）兩題略.

第（3）題：在（2）的條件下，可得曲線C的方程為x29+y25=1.

標準答案給出的解法，運算量太大.運用上述性質來求解，就是另一番景象.

設直線l的方程為y-0=k(x-2)，傾斜角為α，則l在y軸上的截距為-2k=-2tanα.

∵Q(2，0)為橢圓的右焦點，

∴由性質知：

|cosα|=1e#8226;1-1λ1+1λ=1e#8226;λ-1λ+1=32#8226;1-2λ+1.

∵λ∈［2，3］，

∴1-21+λ∈13，12，

∴|cosα|∈12，34，

∴1tan2α+1∈14，916，得tan2α∈79，3，

即k∈-3，-73∪73，3.

∴-2k∈-23，-273∪273，23.

∴l(xiāng)在y軸上的截距的變化范圍為

-23，-273∪273，23.

四、結束語

數學中孕育著和諧，和諧是我們研究數學不竭的動力.這個性質不僅給我們解題帶來方便，更能提升我們對數學探究的信心.

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