等差數列前n項和的探究

【摘要】本文筆者對一道習題進行反思，創設教學情景，引導學生縱向深入，橫向擴展.總結出一般性的規律，有利于培養學生的探究能力和解決實際問題的能力.

【關鍵詞】反思；等差數列；前n項和

專家認為反思是人們進行知識探究，求得知識的最佳途徑.美籍數學教育家波利亞就指出，“如果沒有反思，他們就錯過了一次重要而有益的方面.”反思是探究的開始，也是探究的深入.探究以反思為基礎，探究才能深刻進行.因此在課堂教學中，教師竭力為學生創設探究氛圍，構架反思平臺，充分挖掘潛能，引導學生從樅向與橫向上進行探究，就能求得相關知識的聯系，促進學生全面發展.

例 已知一個等差數列前10項和是310，前20項和是1220，由此可以確定其前n項和的公式嗎？

利用上題，筆者將學生分組，引導他們從多角度進行探究.

學生1從已知入手，用下列方法求得公式.

解法 由S10=310，S20=1220將它們代入等差數列前n項和公式：Sn=na1+n(n-1)d2中，得a1=4，d=6，∴Sn=3n2+n.

教師肯定了學生1用關于n的一元二次函數形式表示Sn后，引導學生由特殊到一般推理，進一步提出是否所有的等差數列{an}的前n項和都可以表示為Sn=an2+bn+c的形式？如果可以，有何特點？這樣設疑學生興趣濃，富有積極性，挑得起，夠得著，易發現規律.教者問題一提出，學生積極思考.

學生2：這很明顯，只需將公式Sn=na1+n(n-1)d2變形為Sn=d2n2+a1-d2n，并令a=d2，b=a1-d2，即得Sn=an2+bn.

學生2的回答進一步激發了同學的積極性，學生3則說出了：“其中二次項系數a為公差d的一半，沒有常數項.”學生4緊接著搶答：“當數列{an}為常數列時，Sn=bn.”

學生經過以上的推理、探究，拓展了知識面，提高了創新能力，得出了如下結論：

已知數列{an}是首項為a1，公差為d的等差數列，則其前n項和Sn=an2+bn，其中a=d2，b=a1-d2.

在得出上述結論后，筆者為引導學生從逆向思維上進行探究，克服前面的思維定勢，加大難度提出：既然等差數列{an}的前n項和Sn能表示為an2+bn，那么某數列{an}的前n項和Sn=an2+bn時，該數列是否為等差數列？學生經過一番思考做出了肯定的回答.

學生5回答：“是等差數列，且首項為a+b，公差為2a.”并用下列方法證明.

證明 由Sn=an2+bn，得a1=S1=a+b.

an=Sn-Sn-1=an2+bn-［a(n-1)2+b(n-1)］=2an+b-a(n≥2，n∈N+，沒有特殊說明時n∈N+)，且上式對n=1成立.

∴an-an-1=2a(n≥2，n∈N+).

∴數列{an}是首項為a+b，公差為2a的等差數列，且通項an=2an+b-a.

經過證明，學生推理、歸納能力得到了升華，探究能力進一步提高，結論也就顯現出來.

如果數列{an}的前n項和Sn=an2+bn，那么該數列{an}是以首項為a+b，公差為2a（即公差為二次項系數的二倍）的等差數列，且通項an=2an+b-a.

為了利用數學內部之間的這種奇妙關系，繼續向深層次大膽探索，筆者再次設疑，提出：若Sn=an2+bn+c(c≠0)時，數列{an}將會是怎樣呢？

學生6：由Sn=an2+bn+c(c≠0)，得a1=S1=a+b+c，

且an=Sn-Sn-1=an2+bn+c-［a(n-1)2+b(n-1)+c］=2an+b-a（n≥2，n∈N+）.

∴an-an-1=2a(n≥2，n∈N+).

……

學生7打斷學生6的思路說：“因為a1不符合通項an=2an+b-a，所以數列{an}不是等差數列.”

學生8則指出：學生6解題錯誤是在“an=Sn-Sn-1（n≥2，n∈N+）”的前提下產生的，因此an-an-1=2a成立的最小項為a2，即應改為an-an-1=2a（n≥3，n∈N+）.

學生在探究中區別正誤，在討論中尋找錯因，學生投入性強，糾錯深刻，矯正明顯.借學生情緒高漲之際，師生展開熱烈討論，得出：

當n=1時，a1=S1=a+b+c；

當n≥2時，an=Sn-Sn-1=2an+b-a；

當n≥3時，an-an-1=2a.

在討論中經過比較，歸納如下結論：

若數列{an}的前n項和Sn=an2+bn+c（c≠0），那么該數列從第二項起是首項為3a+b，公差為2a的等差數列.

通項：an=a+b+c(n=1)，2an-a+b(n≥2).

本節課筆者發揮自己的主導作用，營造探究氛圍，從已知到未知，從特殊到一般，引導學生由淺入深，轉化角度進行反思，猜想、推理、歸納等，取得較好的教學效果.從后續作業中可以看出，如：

1.學生可以獨立證明出等差數列的S10，S20-S10，S30-S20為等差數列，并猜想出：Sk，S2k-Sk，S3k-S2k(k∈N+)也為等差數列.

2.在學習等比數列前n項和時筆者曾講道：

Sn=na(q=1)，a1(1-qn)1-q(q≠1).

學生通過觀察，從中發現，當q≠１時，前n項和Sn可以表示為m-mqn（即qn的系數與常數項互為相反數）.

【參考文獻】

［1］曹一鳴.略論數學反思能力的培養.中學數學教學參考，2004（9）.

［2］羅增儒.波利亞的怎樣解題表.中學數學教學參考，2004（4）.

［3］中學（必修）數學第一冊（上）.人民教育出版社.

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