怎樣求平面直角坐標(biāo)系中一個(gè)圖形的面積

有許多題目要求出平面直角坐標(biāo)系中一個(gè)三角形或一個(gè)四邊形的面積，這時(shí)關(guān)鍵是求出這個(gè)三角形、四邊形的各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).這是解這類問題的重要思路，下面舉兩個(gè)例題說明此類問題：

例1 已知一次函數(shù)y=-12x+2的圖像與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A，B，其對稱軸平行于y軸且在y軸的右側(cè).

（1）當(dāng)a=-12時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)為M，與x軸的另一交點(diǎn)為N，求經(jīng)過M，N兩點(diǎn)的一次函數(shù)的解析式.

（2）求四邊形AMBN的面積.

解 （1）可求得y=-12x+2與x軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，2）.

當(dāng)a=-12時(shí)，過A，B兩點(diǎn)的拋物線解析式為y=-12x2+32x+2.

令y=0，可求得x1=-1，x2=4，則N（-1，0），頂點(diǎn)M32，258，從而可得過M，N兩點(diǎn)的一次函數(shù)的解析式為y=54x+54.

（2）作ME⊥AN，E為垂足，則

ON=1，OB=2，OE=32，

ME=258，AE=52，

∴S=S△OBN+S梯形OEMB+S△AEM

=12×1×2+12×32×2+258+12×258×52

=1+12332+12532=834.

說明 本題要求四邊形AMBN的面積，則要把A，M，B，N各點(diǎn)坐標(biāo)求出，然后再把不規(guī)則的四邊形分割成一些三角形、梯形等規(guī)則圖形，就可以求出它的面積了.

例2 已知拋物線y=ax2+bx+c與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)A(x1，0)，B(x2，0)(x1

（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo).

（2）求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo).

（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PAB的面積等于四邊形ACMB的面積的2倍？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

解 （1）∵x1，x2是方程x2-2(m-1)x+m2-7=0的兩個(gè)根，

∴x1+x2=2(m-1)，x1x2=m2-7.

又 ∵x21+x22=10，∴(x1+x2)2-2x1x2=10.

∴［2(m-1)］2-2(m2-7)=10.

即m2-4m+4=0，解得m1=m2=2.

把m=2代入方程x2-2(m-1)x+m2-7=0，

得x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3.

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）.

（2）拋物線與x軸的交點(diǎn)為A（-1，0），B（3，0），由對稱性可知，頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1，則頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-4）.

∴a-b+c=0，9a+3b+c=0，a+b+c=-4，解得a=1，b=-2，c=-3.

∴拋物線的解析式為y=x2-2x-3.

在y=x2-2x-3中，令x=0，得y=-3.

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3）.

（3）設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)D，如圖.

則AO=OD=1，DB=2，OC=3，DM=4，AB=4.

∴S四邊形ACMB=S△AOC+S梯形OCMD+S△DMB

=12#8226;AO#8226;CO+12（CO+DM）#8226;OD+ 12DM#8226;DB

=12×1×3+12×(3+4)×1+12×2×4=9.

設(shè)P(x0，y0)為拋物線上一點(diǎn)，則S△PAB=12AB#8226;|y0|.

若S△PAB=2S四邊形ACMB，

則12AB#8226;|y0|=18，∴|y0|=9，y0=±9.

把y0=9代入y=x2-2x-3中，得

x2-2x-3=9，即x2-2x-12=0.

解得x1=1-13，x2=1+13.

把y0=-9代入y=x2-2x-3中，得

x2-2x-3=-9，即x2-2x+6=0.

∵Δ=(-2)2-4×1×6=-20<0，

∴此方程無實(shí)數(shù)根.

∴符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)：

P1(1-13，9），P2（1+13，9）.

說明 由本題的解答過程可看出，要求四邊形ACMB的面積，則必須求出A，C，M，B各點(diǎn)的坐標(biāo).求出四邊形ACMB的面積后就知道△PAB的面積，則可以求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，因此求出了點(diǎn)P的坐標(biāo).

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文