運用類比法解題的分類解析

波利亞說：“所謂類比就是指明類似的關系.”他又說：“類比是一個偉大的引路人.”法國數學家拉普拉斯說得一針見血，“在數學里，發現真理的主要工具是歸納和類比！”這些大師的話說明了類比在數學學習中的重要性.在人民教育出版社課程教材研究所中學數學課程教材研究開發中心編著的選修2-2的第二章對推理和證明進行了專門論述.通過兩輪對這套實驗教材的使用，筆者越來越感到《推理和證明》一章學習的重要性.讓學生充分了解合情推理的含義，了解合情推理和演繹推理之間的聯系和差異，利用歸納和類比等方法進行簡單的推理，能夠有力培養學生對數學問題的觀察、猜測、抽象、概括、證明的能力.通過類比能夠使學生正確進行數學知識的遷移、組合、融會.下面是筆者收集的一些可借助類比思想方法解決的典型題目，對它們進行了梳理，以供讀者參考.

一、類比概念解題

例1 （人教A版選修2-2習題2.1A組第5題）在等差數列{an}中，若a10=0，則有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19且n∈N*)成立.類比上述性質，在等比數列{bn}中，若b9＝1，則存在怎樣的等式？

分析 本題考查等差數列與等比數列的類比，形成類比的方面有：等差數列用減法定義，性質用加法表述；等比數列用除法定義，性質用乘法表述.觀察題目的條件，學生通過類比發現a1+a19=2a10，b1#8226;b17=b29.在教學過程中發現，由于對等差數列和等比數列概念理解不到位，不少同學得到錯誤的結論：b1+b2+…+bn=b1+b2+…+b19-n(n<19且n∈N*)，實際上正確的結論是b1#8226;b2#8226;…#8226;bn=b1#8226;b2#8226;…#8226;b17-n(n<17且n∈N*).

我們可將此結論進行推廣：

在等差數列{an}中，若ak=0，有an+1+a2k-1-n=an+1+a2k-2-n=…=ak+ak=0.所以有a1+a2+…+an=a1+a2+…+an+(an+1+an+2+…+a2k-2-n+a2k-1-n)(n<2k-1，∈N*).從而在等比數列{bn}中，如果bk=1，則有等式：b1#8226;b2#8226;…#8226;bn=b1#8226;b2#8226;…#8226;bn#8226;bn+1#8226;bn+2#8226;…#8226;b2k-1-n(n<2k-1，n∈N*）成立.

評注 理解并掌握概念的本質是解答此類題目的關鍵，數學中許多概念有類似的地方，把兩個數學概念特別是新舊概念進行類比，可以更好地理解概念的內涵與外延，進一步促進數學概念的形成和同化.

二、類比新舊知識解題

例2 將集合{2t+2s|0≤s

分析 根據題目條件，將元素按從小到大的順序列出3，5，6，9，10，…，但很難發現其規律性.如果我們能類比熟悉的楊輝三角形，將集合{2t+2s|0≤s

21+20

22+20 22+21

23+20 23+21 23+22

24+20 24+21 24+22 24+23

……

它們中間的指數非常有規律，第1行的第1個數由兩部分組成（21+20）；第2行的第1個數也是由兩部分組成（22+20），第2行的第2個數為22+21；依此規律，可得第n行的第k個數也是由兩部分組成（2n+2k-1）.通過計算第2011個數應是第63行的第58個數，這個數的形式是263+257.這樣一道較難的題，通過類比楊輝三角形，答案就清楚了.

評注 在接觸到新的問題時，要經常聯系舊知識，創造條件進行類比，擴展解題思路，養成良好的類比推理的習慣，這樣既有利于理解、掌握新知識，還能使舊知識得到鞏固，同時拓寬視野.

三、類比信息解題

例3 在平面幾何中有如下特性：從角的頂點出發的一條射線上任意一點到角兩邊的距離之比為定值.類比上述性質，請敘述在立體幾何中相應的特性，將類比性質敘述如下：.

分析 題目給出了高中生平時比較少接觸的平面幾何的信息，要求學生能將平面問題和空間問題進行類比，此題關鍵要抓住三點：（1）將平面角類比成空間角，如二面角；（2）平面中的射線類比成空間的射線或半平面；（3）平面中的點類比成空間中的點.本題提供五個答案給讀者參考：

①從二面角的棱出發的一個半平面內任意一點到二面角的兩個面的距離之比為定值.

②從二面角的棱上一點出發的一條射線上任意一點到二面角的兩個面的距離之比為定值.

③在空間，從角的頂點出發的一條射線上任意一點到角兩邊的距離之比為定值.

④在空間，射線OD上任意一點P到平面AOB，BOC，COA的距離之比不變.

⑤在空間，射線OD上任意一點P到射線OA，OB，OC的距離之比不變.

評注 信息遷移題有題意新穎、背景陌生、構思巧妙的特點，能有效的考查學生的閱讀理解能力、探索能力、創新能力，備受高考命題專家的青睞.類比法是解決此類題目的一種重要的方法，值得關注.

四、類比數學思想方法解題

例4 設函數f(x)=12x+2，利用課本中推導等差數列前n項和公式的方法，可求得f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值為.

分析 此題不宜通過計算12個函數值來計算表達式的值，利用類比課本中推導等差數列前n項和公式的倒序相加法，即設

S=f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)，則

S=f(6)+f(5)+…+f(1)+…+f(-4)+f(-5).

容易知道要計算f(x)+f(1-x)的值：

∵f(x)=12x+2，

f(1-x)=121-x+2=2x2+2#8226;2x=12#8226;2x2+2x，

∴f(x)+f(1-x)=1+12#8226;2x2+2x=22.

發現f(x)+f(1-x)正好是一個定值，

∴2S=22×12，∴S=32.

評注 本題類比數列中重要的解題思想方法“倒序相加法”，以函數為載體，依托課本命題，在常見中求新意，要求學生能充分認識到數列是特殊的函數，在類比的過程中要能通過計算發現f(x)+f(1-x)是一個定值（正如等差數列中的a1+an=a2+an-1=…）.

五、類比知識結構解題

例5 （2010年江西理數第22題）證明以下命題：

(1)對任一正整數a，都存在整數b，c(b

(2)存在無窮多個互不相似的三角形△n，其邊長an，bn，cn為正整數，且a2n，b2n，c2n成等差數列.

分析 本題作為高考壓軸題，主要考查學生綜合分析問題的能力，學生平時比較少接觸到類似的題目，再加上高考的心理壓力，不少學生都覺得無從入手.第一問如果能考慮到要證的結果a2+c2=2b2，其結構類似勾股定理a2+b2=c2，結合勾股數進行拼湊，即迎刃而解；第二問結合第一問的結構特征，將等差數列分解，通過一個可做多種結構分解的因式說明構成三角形，再證明互不相似，且無窮.

證明 （1）考慮其結構特征，取特值12，52，72滿足等差數列，只需取b=5a，c=7a，對一切正整數a均能成立.

（2）當a2n，b2n，c2n成等差數列，則b2n-a2n=c2n-b2n，分解得(bn+an)(bn-an)=(cn+bn)(cn-bn).

接下來是要通過分解式如何說明an，bn，cn可構成三角形的三邊.選取關于n的一個多項式，4n(n2-1)做兩種途徑的分解：4n(n2-1)=(2n-2)(2n2+2n)=(2n2-2n)#8226;(2n+2).

對比目標式，構造an=n2-2n-1，bn=n2+1，cn=n2+2n-1，(n≥4)，由第一問結論，得等差數列成立，

考察三角形邊長關系，可構成三角形的三邊.

下證互不相似：

任取正整數m，n，若△m，△n相似，則三邊對應成比例：

m2-2m-1n2-2n-1=m2+1n2+1=m2+2m-1n2+2n-1.

由比例的性質，得m-1n-1=m+1n+1m=n，與約定不同的值矛盾，故互不相似.

評注 解決此類問題的思維應不拘一格，以發散的思維來觀察分析問題形式，兩個對象在表面上毫無共同之處，但通過觀察、創造條件，使兩者存在共同點，這種類比不是一種簡單的模仿，而是一種創造性.

六、注意解題科學性，防患不當類比

例6 已知a為正常數，定義運算“”如下：對任意m，n∈N*，若mn=a，則(m+1)n=2a，m(n+1)=a+1.當11=1時，則110=，510=.

分析 學生在運用類比思想解答本題時順利地解決了第一問（答案是10）.第二問，很多同學與第一問的算法一樣，得出了結論160.沒有想到本題出題者設了一個陷阱，誘導學生從第一問出發，只得到一個答案160，忽視了從11=1出發得到51=16，進而得到510= 25 ，從而漏了一個正確答案.在運用類比方法解題時要考慮問題的多樣性和多向性，平時應多加訓練.下面再看一例：

例7 （1）設函數f(x)=x2+ax，x∈［1，+∞），若f(x)是增函數，求實數a的取值范圍.

（2）設數列{an}的通項an=n2+an，n∈N*，若{an}是遞增數列，求實數a的取值范圍.

分析 （1）∵f(x)是增函數，

∴f′(x)=2x+a≥0，即a≥-2x在［1，+∞)內恒成立，

∴a≥-2.（本題也可通過二次函數的圖像得到）

（2）方法1：∵f′(n)=2n+a，f(n)在N*內是增函數，

∴2n+a≥0，即a≥-2n在n∈N*時恒成立，∴a≥-2.

方法2：∵an+1-an=［(n+1)2+a(n+1)］-(n2+an)=2n+1+a>0，

∴a>-(2n+1)在N*時恒成立，∴a>-3.

顯然解（2）的方法1是類比解（1）得到的，所得結果不正確，解法2是由遞增數列的性質得到，結果是正確的.事實上，由a≥-2n恒成立得到的a≥-2說明的是an在［1，+∞)上是增函數，而an在N*上是增函數，不要求在［1，+∞)上是增函數.我們不妨取a=-52，這時an=n2-52n，an在［1，2］內不是單調遞增的，但并不影響an在N*上的單調遞增性.所以在用類比方法解題時一定要注意類比的科學性，防患不當類比.

評注 類比推理是根據兩個對象具有某些相同的屬性而推出當一個對象具有一個另外的性質時，另一個對象也具有這一性質的一種推理方式.類比思想方法是一種大膽的猜想，富于創造的一種方法，但類比推理的結論具有或然性，既可能真，也可能假，不能把類比僅停留在敘述方式或數學結構等外層表象之上，還需要對數學結論的運算、推理過程等進行類比分析，從解題的思想方法、思維策略等層面尋求內在的關聯.

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