利用樹圖法解排列題

樹圖法是兩個計數原理交替使用的一種解題策略，用“樹圖”表示所有的排列，一目了然，便于操作，便于分析計數，避免了重復或遺漏.借助“樹圖”直觀地分析問題是常用的計數手段之一.今舉幾例，加以說明.

例1 如圖所示，設坐標平面內有一個質點從原點出發，沿x軸跳動，每次向正方向或負方向跳一個單位，經過五次跳動質點落在（3，0）（允許重復過此點）處，則質點不同的運動方法共有種（用數字作答）.

解 如圖，A（1，0），B（2，0），C（3，0），D（4，0），A′（-1，0）.

經過路徑：O→A→O→A→B→C，

O→A→B→A→B→C，

O→A→B→C→B→C，

O→A→B→C→D→C，

O→A′→O→A→B→C.

∴共5種方法.

評注 本題根據樹狀圖求解，思路正確，方法得當，順其自然，使問題化難為易，迎刃而解.

例2 同室四人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后從中拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有（）.

A.6種

B.9種

C.11種

D.23種

解 設四張賀卡分別記為A，B，C，D，由題意，某人（不妨設為A）取卡的情況有3種，據此將賀卡的不同分配方式分為3類，對于每一類其他人依次取卡分步進行.為了避免重復或遺漏現象，采用樹圖法，所有排列如下:

BA—D—CC—D—AD—A—C

CA—D—BD—A—BD—B—A

DA—B—CC—A—BC—B—A

∴共有9種不同的分配方式，因此答案選B.

評注 本例是一個典型的“錯位問題”模型，此題原有多種解法，但都不如此法直觀、形象.

例3 某天上午要排數學、物理、英語、化學四門不同的學科，若第一節排數學或第四節排物理，問：一共有多少種不同的排法？

解 用數、物、英、化分別表示數學、物理、英語、化學.

數學排在上午第一節的所有排列：

數→物—英—化

→物—化—英

→英—物—化

→英—化—物

→化—物—英

→化—英—物

數學不排上午第一節，物理排第四節的所有排列：

英→數—化—物→化—數—物

化→數—英—物→英—數—物

6+2+2=10，∴以上一共有10種不同排法.

評注 此題關鍵在于正確的分成以上兩類.當然此題還有其他的解法，不過用樹圖法來解仍不失為一種可行的方法.

通過以上幾個具體的例子，不難看出，樹圖法的確是解決排列問題的有力武器，它具有直觀形象、不重不漏、便于操作的特點，而且解題過程耐人尋味，并具有一定的趣味性.但此法具有很強的針對性和一定的局限性，不再贅述.

以下兩題，供讀者練習：

1.在A，B，C，D四位候選人中，如果選舉正、副班長各一人，共有幾種選法：

2.A，B，C，D四名學生排成一列，從左到右，A不排第一，B不排第二，C不排第三，D不排第四，共有幾種排法？

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文