《函數的零點》的教學設計

【摘要】本教學設計根據最近發展區理論，以低起點、小坡度為指導思想，從一元二次方程入手，逐層深入設計了《函數的零點》的教學過程.

【關鍵詞】函數零點；教學設計

一、學情分析

附中的學生大多數是學習藝術的，數學基礎相對比較薄弱，數學學習能力差，但學習欲望較強，有積極向上的美好愿望.

二、教學過程設計

1.問題情境

問題1 方程lgx+x-3=0是否有實數根？

設計意圖 讓學生了解本堂課面臨的問題和學習要達到的高度，充分激發學生學習興趣.

2.學生活動

問題1 方程x2+6x+4=0是否有實數根？若有實數根是什么？

問題2 作函數y=x2-2x-3的圖像，根據圖像指出函數與x軸交點坐標是什么.

設計意圖 從學生最熟悉的二次函數和二次方程入手，引出函數的零點的概念.體現低起點的特點.

3.建構數學

（1）函數的零點：對于函數y＝f(x)，把使f(x)＝0的實數x叫做函數y＝f(x)的零點.

思考 ①函數的零點與方程的根、函數圖像之間有什么聯系?

②函數的零點是點嗎?

設計意圖 通過思考可以進一步理解零點的含義，并能正確地區分零點與點.

練習1 求下列函數的零點.

（1）y=x3-8；（2）y=(x-1)(x+1)(x-3)；（3）y=x2+5x-6.

設計意圖 加強并檢驗學生對零點的理解.

練習2 若函數y=f(x)在區間［1，10］上連續，且f(1)=-4，f(10)=8，嘗試作出函數y=f(x)的一個圖像.

設計意圖 通過開放性的題型，不僅可以充分打開學生思維，激發學習興趣，又可以生動自然地引入零點存在定理.

（2）零點存在定理：如果函數y=f(x)在區間［a，b］上的圖像是連續不斷的一條曲線，并且有f(a)#8226;f(b)<0，那么，函數y=f(x)在區間(a，b)內有零點，即存在c∈(a，b)，使f(c)=0，這個c就是方程f(c)=0的根，也就是函數的零點，一般還可將其表示為x0.

思考 ①若函數在所給的區間上不連續，結論還成立嗎？

②若函數y=f(x)在區間（a，b）上有零點，一定有f(a)f(b)<0嗎？

③若函數y=f(x)滿足定理的條件，那么它在區間（a，b）上零點的個數有多少？

練習 函數f(x)=x3+3x-1在區間（0，1）上有零點嗎？

設計意圖 通過學生的討論，分析定理中各條件的作用，加深對定理的理解，使學生明確這個定理只是一個判定條件，滿足條件一定有零點，不滿足條件未必就沒有零點.

4.數學運用

例 判斷函數y=lgx+x-3=0是否有零點.

變式 （1）函數y=lgx+x-3=0有零點的區間是（k，k+1），則整數k的值為.

（2）函數y=lgx+x-3=0的零點的個數為.

（3）方程lgx=x-3的根的個數是.

思考 除了代入數后逐個驗證，是否有其他方法？

設計意圖 拓展學生思維，引入圖像法.

練習 （1）判斷函數f(x)=x5+3x-2是否有零點.

（2）f(x)=xlgx-1有零點的區間為(k，k+1)，則整數k的值為.

（3）方程3x+log2x=0在［0.25，1］內的實數根的個數為.

5.回顧小結

（1）函數零點的概念；

（2）函數零點和方程的根的關系；

（3）函數零點存在定理.

設計意圖 通過小結，理清思路，歸納總結，更好地掌握知識技能，理解數學思想方法，豐富解決問題的經驗，提高學生的數學表達能力.

6.課外作業

課本第81頁題1，2.

7.設計反思

通過低起點、小坡度，由淺入深，由特殊到一般的階梯式問題，有效地降解了本課的難點，幫助學生實現了思維的騰飛.美中不足的是由于藝術生數學基礎薄弱，學習能力較弱，一些思想方法不能過多展開，例如數形結合與抽象思維.函數與方程相聯系的觀點的建立，函數應用的意識的初步樹立，應該是本節課必須承載的重要任務.在這一任務的達成度方面，本課還需更加濃墨重彩的予以突出.另外，課堂上教師怎樣引導藝術學生也是今后教學中努力的方向.

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