驗證“圖的僅需色數定理”的證明方法

【摘要】本文續接《從地圖的形成原理看“圖論”證明方法的缺陷》一文，對現實中如何驗證“圖的僅需色數定理（即‘L＝C2n的n＝S’）”的正確性，提出了正確的證明方法，著重于對平（球）體表面的圖的僅需色數（即四色猜想）進行了驗證證明.將四色猜想命題設定為C5N組合模式并作為被驗證體，以現實中地圖的C5N組合模式為驗證依據.證明結果表明，C5N組合模式中每一個組合的5個元素（即面）至少存在1對不相鄰的2個面，均僅需≤4色區分，從而證明四色猜想成立.

【關鍵詞】四色猜想；地圖；C5N組合模式；C2N組合模式；組合原理；僅需色數；驗證

在《從地圖的形成原理看“圖論”證明方法的缺陷》一文（見《數學的學習與研究》2011年第5期）中，筆者根據“物體表面的全相鄰力（以‘L’表示）”與“圖的相鄰面的組合力的極限數（以‘C2n’表示）”與“圖的僅需色數（以‘S’表示）”三者的關系，求得“圖的僅需色數定理：L＝C2n的n＝S”，得出答案：“四色猜想命題之所以成立，是在于平（球）體表面的全相鄰力最多只能做到使‘4個面’全相鄰（即L=4），其圖的相鄰面的組合力的極限數為C24（即C2n的n=4）.”那么，以現實的圖來說，如何驗證“圖的僅需色數定理”的正確性呢？為此，本文就這一問題作出解答，并著重于對平（球）體表面的圖的僅需色數（即四色猜想）進行驗證證明.

1.驗證“圖的僅需色數定理”的證明方法

定義 分劃法、圖的組合模式、物體表面的全相鄰力、圖的相鄰面的組合力詳見《從地圖的形成原理看“圖論”證明方法的缺陷》（以下簡稱“《缺陷》”）一文.

在《缺陷》一文中講到，物體表面的全相鄰力是應用分劃法對物體表面進行有意識的分劃而求得的.驗證“圖的僅需色數定理”的證明方法，就是根據分劃法求得的結果，應用數學組合原理，將圖的僅需色數命題（即n色猜想命題）設定為CmN組合模式（即在應用分劃法的前提下，以該物體表面被分劃為幾個面時出現“不相鄰的兩個面”的“幾”為m，將該物體表面的圖的僅需色數命題設定為從N個元素中任意取出m個元素為一個組合的整體，即CmN組合模式），并作為被驗證體，以現實中的圖的C2N組合模式不相鄰的2個元素（即面）為驗證依據，對命題的CmN組合模式中每一個組合進行驗證.顯然，CmN組合模式中每一個組合均為一個Cmm組合，m個元素則需m種色區分，如CmN組合模式中每一個組合的m個元素（即面）都存在不相鄰的2個（或2個以上）元素，那么表明每一個組合的m個元素均有2個（或2個以上）元素可著同1色，那么“m－2－1≤n（色）”，每一個組合的m個元素均僅需≤n色區分，從而證明n色區分成立；如CmN組合模式中有一個（或多個）組合不存在不相鄰的面，那么表明此個組合需m色區分，因m＞n（色），從而證明n色區分不成立.

現對平（球）體表面的圖的僅需色數（即四色猜想）進行驗證證明.

2.驗證平（球）體表面的圖的僅需色數的證明方法

第一步 將四色猜想命題設定為C5N組合模式并作為被驗證體.

筆者在《缺陷》一文應用分劃法求證到平（球）體表面當被分劃到第四步、被分劃為5個面時，不能做到使5個面全相鄰，必定出現不相鄰的2個面.這個證明結果清楚地告訴我們，展現在平（球）體表面的地圖中的任何“5個面”都不能做到彼此之間均相鄰，必定存在不相鄰的2個面.又我們知道，對四色猜想命題的證明，實際上是對平（球）體表面的面的數量（以“N”表示）為5個以上（即N≥5）的圖作出證明.根據這些已知條件，可將四色猜想命題（即平、球體表面的圖的僅需色數）設定為從N個元素中任意取出5個元素為一個組合的整體，即為C5N組合模式，見圖1.

圖 1

毫無疑問，在這個C5N組合模式中，相對于由N個元素（即面）組成的圖來說，不論其面與面之間的關系如何，其任意取出5個元素的組合則是窮舉的.如由5個面組成的圖，僅有“12345”一個組合；由6個面組成的圖，共有“12345，12346，12356，12456，13456，23456”6個組合；由7個面組成的圖共有21個組合（詳見圖1）.我們把這個C5N組合模式作為被驗證體，以現實中的圖的C2N組合模式為驗證依據，對四色猜想能否成立進行證明.

第二步 以現實中的圖的C2N組合模式為驗證依據.

筆者在《缺陷》一文求證到，地圖的結構模式是C2N組合模式.這個C2N組合模式，準確、真實地記錄了地圖的各面彼此之間相鄰關系和非相鄰關系情況.為此，將現實中的圖的面與面之間的關系以C2N組合模式表達出來（如圖2），并以此為依據，對命題的C5N組合模式中每一個組合進行驗證.如C5N組合模式中每一個組合的5個元素（即面）都存在不相鄰的2個（或2個以上）元素，那么表明每一個組合的5個元素均有2個（或2個以上）元素可著同1色，均僅需≤4色區分，從而證明4色區分成立；如C5N組合模式中有一個（或多個）組合不存在不相鄰的面，那么表明此個組合需5色區分，從而證明4色區分不成立.現舉實例證明

例證1 圖2是由5個面組成的圖.從圖1的C5N組合模式中知道，由5個面組成的圖僅有“12345”一個組合.從圖2的C2N組合模式中看出，圖2的5個面中只存在3與5兩個面不相鄰.由此可見，圖2的5個面中3與5兩個面不相鄰，可著同1色.驗證結果，圖2的“12345”5個元素（即圖2的5個面）僅需4色區分，其四色區分成立.

圖2及其合模式

例證2 圖3是由6個面組成的圖.從圖1的C5N組合模式中知道，由6個面組成的圖共有6個組合（略）.從圖3的C2N組合模式中看出，圖3的6個面中存在3對不相鄰的兩個面：2與4，2與5，3與5.

圖3及其合模式

現對圖3的6個組合的5個元素予以驗證：

“12345”、“12456”、“23456”3組5個元素均存在“2與4、2與5”2對不相鄰的兩個面，均僅需4色區分；

“12346”5個元素只存在“2與4”1對不相鄰的兩個面，僅需4色區分；

“12356”5個元素存在“2與5、3與5”2對不相鄰的兩個面，僅需4色區分；

“13456”5個元素只存在“3與5”1對不相鄰的兩個面，僅需4色區分.

驗證結果，圖3的C5N組合模式中共有6個組合，其每個組合的5個元素至少存在1對不相鄰的兩個面，均僅需4色區分，圖3的6個面僅需4色區分，其四色區分成立.

例證3 圖4是由7個面組成的圖.從圖1的C5N組合模式中知道，由7個面組成的圖共有21個組合（略）.從圖4的C2N組合模式中看出，圖4的7個面中存在6對不相鄰的兩個面：1與5，2與6，3與5，3與6，3與7，4與7.現對圖4的21個組合的5個元素進行驗證：

圖4及其合模式

“12345”5個元素存在“1與5、3與5”2對不相鄰的兩個面，僅需4色區分；

“12346”5個元素存在“2與6、3與6”2對不相鄰的兩個面，僅需4色區分；

“12347”5個元素存在“3與7、4與7”2對不相鄰的兩個面，僅需4色區分；

“12356”5個元素存在“1與5、3與5、3與6”3對不相鄰的兩個面，僅需3色區分；

“12357”5個元素存在“1與5、3與5、3與7”3對不相鄰的兩個面，僅需3色區分；

“12367”5個元素存在“2與6、3與6、3與7”3對不相鄰的兩個面，僅需3色區分；

“12456”5個元素存在“1與5、2與6”2對不相鄰的兩個面，僅需3色區分；

“12457”5個元素存在“1與5、4與7”2對不相鄰的兩個面，僅需3色區分；

“12467”5個元素存在“2與6、4與7”2對不相鄰的兩個面，僅需3色區分；

“12567”5個元素存在“1與5、2與6”2對不相鄰的兩個面，僅需3色區分；

“13456”5個元素存在“1與5、3與6”2對不相鄰的兩個面，僅需3色區分；

“13457”5個元素存在“1與5、3與7”2對不相鄰的兩個面，僅需3色區分；

“13467”5個元素存在“3與6、3與7、4與7”3對不相鄰的兩個面，僅需3色區分；

“13567”5個元素存在“1與5、3與5、3與6、3與7”4對不相鄰的兩個面，僅需3色區分；

“14567”5個元素存在“1與5、4與7”2對不相鄰的兩個面，僅需3色區分；

“23456”5個元素存在“2與6、3與5、3與6”3對不相鄰的兩個面，僅需3色區分；

“23457”5個元素存在“3與5、3與7、4與7”3對不相鄰的兩個面，僅需3色區分；

“23467”5個元素存在“2與6、3與6、3與7、4與7”4對不相鄰的兩個面，僅需3色區分；

“23567”5個元素存在“2與6、3與5、3與6、3與7”4對不相鄰的兩個面，僅需3色區分；

“24567”5個元素存在“2與6、4與7”2對不相鄰的兩個面，僅需3色區分；

“34567”5個元素存在“3與5、3與6、3與7、4與7”4對不相鄰的兩個面，僅需3色區分.

驗證結果，圖4的C5N組合模式中共有21個組合，其每個組合的5個元素至少存在1對不相鄰的兩個面，均僅需≤4色區分，圖4的7個面僅需4色區分，其四色區分成立.

綜合圖2至圖4的證明，由5個面組成的圖，其C5N組合模式中僅有1個組合，其1個組合的5個元素存在1對不相鄰的兩個面，其5個面僅需4色區分，其四色區分成立；由6個面組成的圖，其C5N組合模式中共有6個組合，其每一個組合的5個元素至少存在1對不相鄰的兩個面，均僅需≤4色區分，其6個面僅需4色區分，其四色區分成立；由7個面組成的圖，其C5N組合模式中共有21個組合，其每一個組合的5個元素至少存在1對不相鄰的兩個面，均僅需≤4色區分，其7個面僅需4色區分，其四色區分成立.依照歸納法得.

結論 平（球）體表面的圖，不論其面的數量是多少，其C5N組合模式中每一個組合的5個元素至少存在1對不相鄰的兩個面，均僅需≤4色區分，其N個面僅需4色區分，因此，四色猜想成立.此證.

同樣，環體（即輪胎體）表面的圖僅需5色區分，則為五色猜想命題.經應用分劃法求證到環體表面當被分劃到第五步、被分劃為6個面時，不能做到使6個面全相鄰，必定出現不相鄰的2個面，那么，據此，將五色猜想命題設定為一個從N個元素中任意取出6個元素為一個組合的整體（即為C6N組合模式），然后以現實中的圖的C2N組合模式中“不相鄰的兩個面”為依據，對命題的C6N組合模式中每一個組合的6個元素進行驗證.驗證結果表明，環體表面的圖，不論其面的數量是多少，其C6N組合模式中每一個組合的6個元素至少存在1對不相鄰的兩個面，均僅需≤5色區分，其N個面僅需5色區分，因此，五色猜想成立.

同樣，丁環體表面的圖僅需6色區分，則為六色猜想命題.經應用分劃法求證到環體表面當被分劃到第六步、被分劃為7個面時，不能做到使7個面全相鄰，必定出現不相鄰的2個面，那么，據此，將六色猜想命題設定為一個從N個元素中任意取出7個元素為一個組合的整體（即為C7N組合模式），然后以現實中的圖的C2N組合模式中“不相鄰的兩個面”為依據，對命題的C7N組合模式中每一個組合的7個元素進行驗證.驗證結果表明，丁環體表面的圖，不論其面的數量是多少，其C7N組合模式中每一個組合的7個元素至少存在1對不相鄰的兩個面，均僅需≤6色區分，其N個面僅需6色區分，因此，六色猜想成立.

同樣，8字連環體表面的圖僅需7色區分，則為七色猜想命題.經應用分劃法求證到環體表面當被分劃到第七步、被分劃為8個面時，不能做到使8個面全相鄰，必定出現不相鄰的2個面，那么，據此，將七色猜想命題設定為一個從N個元素中任意取出8個元素為一個組合的整體（即為C8N組合模式），然后以現實中的圖的C2N組合模式中“不相鄰的兩個面”為依據，對命題的C8N組合模式中每一個組合的8個元素進行驗證.驗證結果表明，8字連環體表面的圖，不論其面的數量是多少，其C8N組合模式中每一個組合的8個元素至少存在1對不相鄰的兩個面，均僅需≤7色區分，其N個面僅需7色區分，因此，七色猜想成立.

3.需說清楚的幾個問題

其一，“L＝C2n的n＝S”是“物體表面的圖僅需著色種數”的基本定理，而本文的證明方法是驗證此基本定理的正確方法.

其二，關于圖的“不相鄰的兩個面”能否窮舉之問題.對此，我的答案是，相對于物體表面可展示的圖來說，根據數學的組合原理，圖的“不相鄰的兩個面”肯定能窮舉.因為，“不相鄰的兩個面”乃是C22組合，窮舉“不相鄰的兩個面”，即是窮舉C2N組合模式中的各組組合（見圖5）.如由5個面組成的圖，從圖5看出，不論其面與面之間的關系多么復雜，其“不相鄰的兩個面”走不出C25組合模式中的10個組合之內；如由6個面組成的圖，其“不相鄰的兩個面”肯定走不出C27組合模式中的15個組合之內，其余亦然.

圖 5

其三，本人的研究結果表明，圖的面的數量（N）與圖的“不相鄰的兩個面”對數兩者關系成正比，即N越大，出現“不相鄰的兩個面”的對數就越多，甚至有可能出現某個組合的m個元素彼此之間均為“不相鄰的兩個面”之情況.這也就是說，N越大，其圖的“不相鄰的兩個面”著同一色的調節空間也就越大.

其四，四色猜想命題的破解，實際上是對“四色”這個“僅需著色種數”作出證明，并非是對在“四色”的前提下圖的各面如何著色使之成立的證明.而筆者看到的有關四色猜想命題的證明，都屬于后者此類的證明.就研究四色猜想命題而言，人們不僅未能走出“面的數量”這個“怪圈”，而且也未能跳出“如何著色”這個“誤區”.

其五，地圖的結構模式是C2N組合模式，決不是排列模式，地圖的區域與區域之間的關系是組合關系，決不是排列關系.因此，四色猜想命題不屬于“真的機器證明之命題”.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文