定積分的常見應用歸納

【摘要】定積分在科學技術問題中有著廣泛的應用，它是求不均勻分布的整體量的有力工具，是一種實用性很強的數學方法.本文歸納出定積分的常見應用，用例子加以說明.

【關鍵詞】定積分；計算；問題

1.定積分可計算平面圖形的面積問題

例1 求由拋物線y=x2與直線x=1，x=2及x軸圍城的圖形的面積.

S=∫21x2dx=13x321=73.

2.定積分可計算平行截面面積為已知的立體體積的問題

例2 求底面半徑為r，高為h的正圓錐的體積.

V=∫h0πr2h2x2dx=πr23h2x3h0=13πr2h.

3.定積分可計算平面曲線的弧長問題

例3 兩根電線桿之間的電線，由于自身重量而下垂，方程為y=a2exa+e-xa(a>0)，求x∈［-a，a］的弧長.

l=∫a0exa+e-xadx=aexa-e-xaa0=a(e-e-1).

4.定積分可計算旋轉體的體積問題

例4 求由曲線y=x2與y2=x所圍城的平面圖形繞x軸旋轉所成的體積.

V=π∫10(y22-y21)dx=π∫10(x-x4)dx=310π.

5.定積分可計算引力的問題

例5 設有一均勻細桿，長為l，質量為M，另有一質量為m的質點位于細桿所在的直線上，且到桿的近端距離為a，求細桿對質點的引力.

F=kmMl∫101(x+a)2=kmMl-1x+a10=kmMa(a+l).

6.定積分可計算變力做功的問題

例6 已知彈簧每拉長0.01 m，要用5 N的力，求把彈簧拉長0.1 m所做的功.

W=∫0.10500xdx=5002x20.10J=2.5J.

7.定積分可計算液體的壓力問題

例7 設一水平放置的水管，其斷面是直徑為6 m的圓，求當水半滿，水管一端的豎立閥門上所受的壓力.

P=∫309.8×103x9-x2dx≈1.7×105(N).

8.定積分可計算轉動慣量的問題

例8 一均勻細桿長為l，質量為M，試計算細桿繞過它的中點且垂直于桿的軸的轉動慣量.

I=∫12-12Mlx2dx=Mlx3312-12=112Mt2.

9.定積分可計算交流電路的平均功率問題

例9 正弦交流電的電流為I=I0sint，I0是電流的極大值，稱為峰值，ω是圓周率，周期為T=2πω，試計算正弦交流電的平均功率.

P=ω2π∫2πω0I20Rsin2ωtdt

=I20R2π∫2πω0sin2ωtd(ωt)

≈(0.707I0)2R.

10.定積分可計算靜力矩與質心坐標的問題

例10 求半徑為r的均勻半圓盤的質心坐標.

y=MxM=∫r-r(r2-x2)dxπr2=4r3π，

∴半圓盤的質心坐標為0，4r3π.

11.定積分可計算平均值的問題

例11 計算函數f(x)=1+x2在［-1，2］上的平均值.

y=12+1∫2-1(1+x2)dx=13x+13x32-1=2.

12.定積分可解決經濟學上的問題

例12 已知商場銷售一商品的邊際收入為R′(x)=6x(元/kg)，邊際成本為c′(x)=2+10x(元/kg)，又固定成本c0=2000，求總成本函數、總收入函數及總利潤函數.

c(x)=∫x0c′(x)dx+c(0)

=∫x02=10xdx+2000

=2x+20x+2000，

R(x)=∫x0R′(x)dx+R(0)=∫x06xdx=3x2，

L(x)=R(x)-c(x)=3x2-2x-20x-2000.

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