通過數學結構揭示≥6的偶數是兩個素數之和

筆者自從發現了哥德巴赫猜想系多解范疇之后，歷經一年多來的不斷地深入研究，適時地歸納總結研究成果，發現了素數對的分布規律；通過調整觀察視角，利用乘法和間生奇數法研究素數，逐步地形成了論證素數存在性的思路.隨著素數存在性證明的誕生，進一步地打開了視野，從而，順理成章地展現出從數學結構上揭示≥6的偶數是兩個素數之和的謎底，并堅信這是破解哥德巴赫猜想之謎的最佳、切實可行的途徑.后來的客觀發展事實充分地證實了這個絕佳抉擇.

一、自然數的結構

從數學結構角度講，自然數可根據需要和研究方向，有諸多種結構形式，下面根據本文件的需要，著重從奇、偶性和素、合性兩個方面予以論述.

1.自然數的奇、偶屬性及結構

能被2整除的數為偶數，如2，4，6，8，…；不能被2整除的數為奇數，如1，3，5，7，…，這是人所共知的，所以，在此就沒有必要過多地論述啦.

2.自然數的素、合屬性及結構

自然數的素數、合數屬性，是本文件的研究焦點，因此，就需要多說幾句.

（1）依據目前數學界的規定，1不是素數.所以，下面就不特別強調1的屬性問題.

（2）根據素數定義，除去2以外，所有素數都是奇數，所以，此后簡稱奇素數為素數.

（3）因為所有大于2的偶數都是2的倍數，所以，大于2的偶數都是偶合數.因此，除設定的偶數（以N代表）外，本文幾乎不再討論偶數事宜，那么，下面凡是提到或用到的均是針對奇數而言.

（4）根據素數定義，奇數中還含有奇合數，以下簡稱為合數.

（5）從素數和合數角度講，在自然數的奇數中，可以分為素數和合數，即自然數是由素數和合數共同構成的.

（6）由于奇數與素數和合數具有同一性，所以，當素、合屬性沒有確定前，統稱為奇數，否則，遵照素、合屬性稱之.

二、任意偶數的對稱奇數對

任意偶數都有相應對奇數之和，而且，奇數對的構成是對稱于相應偶數中心點.若設任意偶數為N，且令奇數個數是n，則n=N2（n即為N內的奇數個數，也是N內的偶數個數，還是N的一半之數）.由于n的奇、偶屬性，則任意偶數的奇數對個數計算式為：

n(N)=N4+0.5=n2+0.5.（1）

注 n(N)是奇數對個數.

由于奇數對是由小奇數和大奇數共同構成，所以，就自然而然地形成了兩個區間，那就是小奇數區間（［0，a］，以下簡稱為小區間）和大奇數區間（［b，N］，以下簡稱為大區間）.其中：

a=2#8226;N4+0.5-1(小奇數區間的最大奇數).（2）

b=2#8226;N4+1(大奇數區間的最小奇數).（3）

由于a和b是設定偶數的中間相鄰數，所以，要么是連續的兩個奇數，要么是同一個奇數（當n為奇數時），我們稱這組奇數對為相距最近的奇數對，以后就統稱為近距對.

根據奇數與素數和合數的同一性，如果構成奇數對的兩個奇數都是素數，則稱為素數對，若都是合數，就稱為合數對.

三、大、小奇數區間素數存在性的論證

由于奇數與素數和合數的同一性，以及素數存在的必然性，那么，在大、小區間，素數的存在性也應為必然.但是，這都是理性分析和客觀事實，下面我們就從數學邏輯上予以論證：

設N為任意偶數.根據3的論述，小區間為［0，a］；大區間為［b，N］.

我們都知道，N的開方根內的素數可以判斷N內所有數的素、合屬性，則設ri為開方根內的任意素數，即ri∈［0，√N］.

若［b，N］MOD ri≡0，則在［b，N］區間不存在素數，那么，在［0，√N］區間的素數個數（π(√)）和區間內的素數ri仍為原來值（下面就直接用π(√)和ri表示）.

如果都擴大2倍，則有［N，2N］.

若［N，2N］MOD ri≡0，則［N，2N］區間不存在素數，那么，π(√)和ri仍然保持不變.

……

當N→∞時，π(√)→0.

由此來看，只有［0，√N］區間內的素數需要研究，那么，我們就來剖析一下這個需要研究的問題.

令N=2，則√N=√2，那么，在［0，√2］區間不存在素數.

這就是說，無論是從小的方面考慮，還是從大的方面考慮，都不存在素數.我們都知道，合數是素數的乘積，若沒有素數，合數焉存？另外，自然數列是由素數和合數共同構成的，若沒有素數的存在，也沒有衍生的合數，則自然數列就不存在架構基礎.因此，在［b，N］區間或［0，a］區間不存在素數的假設是錯誤的.

所以，當N≥6時，大、小區間必然存在素數.由于素數的存在，才能衍生出合數，從而，共同地架構起自然數列.

若素數有限或不連續，則必然使合數數列在相應位置產生斷點或不連續，從而，導致自然數列出現斷點和不連續.因此，素數必然是無限地存在著.

∴π(x)≥1，π(d)≥1為必然.（1）

注 π(x)代表小區間的素數個數；π(d)代表大區間的素數個數.

四、兩個區間的奇數與素數、合數的結構關系

通過上述論述，無論在哪個區間，都存在著素數與合數，那么，兩個區間的素數就能夠構成素數對，兩個區間的合數就能構成合數對，不能構成素對和合數對的，就構成混合對.

1.奇數對與素數和合數個數的數學結構關系

由于素數和合數共同架構起兩個區間的奇數列，所以，可以得出如下結構關系式：

n(N)=π(x)+Hx=π(d)+Hd.（1）

注 Hx是小區間的合數個數；Hd是大區間的合數個數.

2.架構起素數對的結構

若從合數中去除合數對所需用合數后(即Hx-H(N)和Hd-H(N))，其差值再與對方區間的素數構成混合對，余下的便構成素數對，因此有下列關系式：

D(N)=π(x)-(Hd-H(N))=π(d)-(Hx-H(N))，

即D(N)=π(x)-Hd+H(N)=π(d)-Hx+H(N).（2）

注 D(N)是N的素數對個數；H(N)是N的合數對個數.

五、哥德巴赫猜想成立的論證

根據四（2），則有D(N)=π(x)-Hd+H(N)，

D(N)=π(d)-Hx+H(N)，

即π(x)+H(N)=D(N)+Hd，π(d)+H(N)=D(N)+Hx.

∴π(x)+H(N)>Hd，π(d)+H(N)>Hx.

即π(x)+H(N)-Hd≥1，π(d)+H(N)-Hx≥1.

∴D(N)≥1.（1）

當N≥6時，則有D(≥6)≥1，∴哥德巴赫猜想成立.

注證 證明Hd≠πx)+H(N).

當H(N)=0時，Hd=π(x)，因此，不具備構成素數對條件，即D(N)=0.但是，事實是：當H(N)=0時，D(N)≠0.例如，N=6時，H(6)=0，D(6)=1(3+3)；N=8時，H(8)=0，D(8)=1(3+5)；N=10時，H(10)=0，D(10)=2(3+7，5+5)，…….

由此可見，假設Hd=π(x)+H(N)與實際不符，所以， Hd=π(x)+H(N)的假設不成立.

六、隨后語

如若1為素數，自然數列便駛入正常軌道.第一，所有關于素數方面的混沌現象將隨之清澈見底；第二，自然數列便為有根、有本、有源；第三，再也沒有必要專門為1設立一個無法給出定語的數類，而且，還會使素數和合數在自然數列的結構中趨于完善；第四，哥德巴赫猜想就可更名為：任意偶數都是兩個素數之和.

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