導函數與原函數周期的同一性研究

【摘要】導函數與原函數具有密不可分的關聯性，同時又是兩個完全不同的函數.本文給出導函數與原函數周期相同的一個充要條件.

【關鍵詞】導函數；原函數；相同周期

周期是函數的重要特征之一.導函數與原函數具有密不可分的關聯性，同時又是兩個完全不同的函數，它們之間在周期性上具有怎樣的關系呢？

定義 如果存在一個常數T(T≠0)，使函數y=f(x)，當x取定義域內的每一個值時，f(x+T)=f(x)都成立，則稱函數y=f(x)為周期函數，其中T叫做周期.

定理 設f(x)是實數集R上的非常數的連續周期函數，在任何一個區間［a，b］內至多存在f(x)的有限個第一類間斷點，在其余點f(x)連續可導，則導函數f′(x)與函數f(x)的周期一致.

該定理給出了可導的周期函數與導函數周期相同的一個充分條件，但要求在任何有限區間內“導函數至多存在有限個第一類間斷點”.目前可查的文獻中對這一條件至多放到“導函數黎曼可積”.經我們研究可以換一個角度，越過這類條件得到了函數與導函數周期相同的一個充要條件.

預備定理1 對任意實數：T，T1，δ>0，一定存在自然數n，非負整數m，實數η，使得nT1=mT+η成立，且|η|<δ.

證明 若T1T是有理數，則此時η=0，結論顯然成立.

現設T1T是無理數，對任何δ>0，存在自然數k，使110k<δT，10k+1個正的無理數T1T，2T1T，…，(10k+1)T1T中至少有兩個數，它們的小數部分的前k小數相同，設其為pT1T，qT1T，不妨設p

nT1T-m=qT1T-pT1T-qT1T-pT1T

=qT1T-qT1T-pT1T-pT1T

=qT1T-pT1T

<110k<δT.

所以|nT1-mT|<δ.令η=nT1-mT，則nT1=mT+η且|η|<δ.

預備定理2 設T>0是實數R上的周期函數F(x)的周期，T1>0，若對任意a∈［0，T)，對任意ε>0，恒有|F(a+T1)-F(a)|<ε，則T1是F(x)的周期.

證明 對任意x∈R，總有x=kT+a，其中k是整數，a∈［0，T)，于是對任意ε>0，有

|F(x+T1)-F(x)|=|F(kT+a+T1)-F(kT+a)|=|F(a+T1)-F(a)|.

由ε>0的任意性知，F(x+T1)=F(x)，對任意x∈R，這表明T1是R上的周期函數F(x)的周期.

定理 設F′(x)=f(x)，對一切x∈R，F(x)與f(x)為周期相同的函數的充要條件是：F(x)為周期函數.

證明 必要性是明顯的，僅證充分性.設F(x)是周期函數，易知f(x)也是周期函數，且F(x)的周期都是f(x)的周期，問題在于證明f(x)的周期也是F(x)的周期.現設T，T1分別是F(x)，f(x)的正周期，要證T1是F(x)的周期.為此，據預備定理2，只須證明：對任意固定的a∈［0，T)，任意ε>0，有

|F(a+T1)-F(a)|<ε，a∈［0，T).（1）

由F(x)在R上可導知，F(x)在x=0處連續，故對上述ε>0，存在δ1>0，使當|x-0|<δ1時，

|F(x)-F(0)|<ε.（2）

令δ=min{δ1，T1，T-a}，據預備定理1知，對于T，T1，δ>0，存在自然數n，非負整數m，實數η，使

nT1=mT+η且|η|<δ.（3）

首先，F(nT1)=F(mT+η)=F(0+η)=F(0)+λ.（4）

從|η|<δ與（2）知|λ|<ε.（5）

其次，（3）式中的m≠0，否則η=nT1≥T1≥δ，這與|η|<δ矛盾，故m是自然數，從而nT1≥T-|η|>T-δ≥a，即nT1>a.于是，當a∈［0，T)時，有

a=kT1+t，k∈{0，1，…，n-1}，t∈［0，T1).（6）

現令Gk(t)=F(kT1+t)，t∈［0，T1］，k=1，2，…，n.由復合函數的求導法則，得G′k(t)=F′(kT1+t)=f(kT1+t)=f(t)=F′(t).

由于Gk(t)，F(t)均是f(t)在［0，T1］上的原函數，從Gk(t)=F(t)+Ck，t∈［0，T1］，k=1，2，…，n，即F(kT1+t)=F(t)+Ck，t∈［0，T1］，k=1，2，…，n.從而得到下列方程構成的方程組：

F(T1)=F(0)+C1，

F(T1)+C1=F(2T1)=F(0)+C2，

F(T1)+C2=F(3T1)=F(0)+C3，

……

F(T1)+Cn-2=F((n-1)T1)=F(0)+Cn-1，

F(T1)+Cn-1=F(nT1)+Cn，

F(0)+Cn=F(nT1)=F(0)+λ.

其中最后一個方程由（4）式得到.

消去F(0)，F(1)，解之得Ck=knλ，k=1，2，…，n.

于是，當a∈［0，T)時，由（6）式知：

F(a+T1)-F(a)

=F(kT1+t+T1)-F(kT1+t)

=F［(k+1)T1+t］-F(kT1+t)

=Gk+1(t)-Gk(t)

=F(t)-(k+1)λn-F(t)+kλn=1nλ.

因此|F(a+T1)-F(a)|=λn≤|λ|<ε.

其中最后一個不等式由（5）式得到.這就證明了（1）式，于是，T1也是F(x)的周期，定理證畢.

由上述定理，很容易得到如下的推論：F′(x)=f(x)，x∈R，若F(x)是具有最小正周期T的函數，則f(x)也是具有最小正周期T的周期函數.

【參考文獻】

［1］吳學澄，黃炳生，等.高等數學.南京：東南大學出版社.

［2］同濟大學應用數學系.高等數學.南京：高等教育出版社.

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