重視在解題教學中反思

“一旦獲解，就立即產生感情上的滿足，從而導致心理封閉，忽視解題后的再思考，恰好錯過了提高的機會，無異于入寶山而空返”，題目的解出，并不意味著解題活動的結束，恰恰相反，它可以是解題規律探究的新的開始.

解后反思，這絕非是可有可無的，而是很必要的，“其作用不僅能改進完善眼前的解題，而且能提煉出對未來解題有指導作用的信息（即形成數學觀念的基本素材，或稱解題經驗的信息儲備），進一步升華為學生搜索、捕獲、分析、加工和運用信息能力的總和——數學才能”.

例 已知對任意實數x，二次函數f(x)=ax2+bx+c恒非負，且a

∵二次函數f(x)=ax2+bx+c恒非負，

∴a>0且Δ=b2-4ac≤0.

“你能否改變已知或未知，或者兩者都改變，使它們彼此更接近？”（波利亞）

解法一 ∵f(x)=ax2+bx+c≥0對x∈R恒成立，且b>a，

∴a>0且b2-4ac≤0，∴b>a>0且c≥b24a.

∴M=a+b+cb-a≥a+b+b24ab-a=(2a+b)24a(b-a)

=［(b-a)+3a］24a(b-a)

=b-a4a+9a4(b-a)+32

≥2b-a4a#8226;9a4(b-a)+32=3，

當且僅當b-a4a=9a4(b-a)，c=b24a，即b=c=4a時取等號，此時M取得最小值3.

解法可以運用不等式(x+y)2≥4xy（或(x+y)24xy≥1)，

M=…≥［(b-a)+3a］24a(b-a)≥4(b-a)#8226;3a4a(b-a)=3，

取等號的條件為b-a=3a.

解法二 ∵f(x)=ax2+bx+c≥0對x∈R恒成立，

∴f(-2)≥0，即4a-2b+c≥0，∴a+b+c≥3(b-a).

又 b>a，∴b-a>0，∴a+b+cb-a≥3，即M≥3，

當且僅當Δ=b2-4ac=0，4a-2b+c=0，

即b=c=4a時取等號，∴M的最小值為3.

既然解法一得出了a+b+cb-a≥3，

可變形為4a-2b+c≥0，即f(-2)≥0.

解法三 依題設知b>a>0，c≥b24a>0，∴M=a+b+cb-a>0.

又 由M=a+b+cb-a，得c=(M-1)b-(M+1)a.

代入Δ=b2-4ac≤0中，有

b2-4a［(M-1)b-(M+1)a］≤0，

即b2-4(M-1)ab+4(M+1)a2≤0.(*)

設g(b)=b2-4(M-1)ab+4(M+1)a2.

∵g(0)=4(M+1)a2>0，故要使（*）有正實數解，必須Δ1=［-4(M-1)a］2-4×4(M+1)a2≥0，

化簡，得M(M-3)≥0.

又 M>0，∴M≥3，即M的最小值為3.

解法四 由二次函數f(x)=ax2+bx+c≥0恒非負，有

a>0，b2-4ac≤0.

又 aa>0且c≥b24a>0，

可知M=a+b+cb-a>0，記最小值為k>0，則

a+b+cb-a≥k，有(k+1)a+(1-k)b+c≥0，

與“二次函數f(x)=ax2+bx+c恒非負”，即ax2+bx+c≥0對x∈R恒成立對照，取k+1=x2，1-k=x，

消去x(或k)，得(1-k)2=k+1(或x2+x-2=0)，

解得x=-2，k=3或x=1，k=0（舍去）.

∴當x=-2時，M=a+b+cb-a≥3，且當f(-2)=0時不等式取等號.

當a>0，b2-4ac=0，4a-2b+c=0b=c=4a時，M有最小值3.

解法五 依題設易得b>a>0，c≥b24a.

∴M=a+b+cb-a≥a+b+b24ab-a=1+ba+b24a2ba-1.

設ba=t，則t>1，又設g(t)=1+t+14t2t-1，

由g′(t)=0，得t=4.

當04時，g′(t)>0.

∴當t=4時，取得最小值3.易知此時M也取得最小值3.

教學的意義，不單是讓學生知道得更多，知識面更廣，尤其在于教會學生在知道別人的東西的同時，有能力和機會悟出自己的東西，這種“悟”的過程，離不開想象，離不開探索，離不開反思，離不開豐富多彩的結論的交鋒，但或許正是這個過程，最終才能讓我們的學生學會創造，學會創新，成就他們的天才和德行.

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