冪指函數求導方法的探討與推廣

【摘要】在高等數學的教學當中，學生普遍對冪指函數感到復雜，在其相關運算中比較容易出錯，本文對冪指函數的求導方法進行了討論與推廣.

【關鍵詞】冪指函數；求導；復合函數求導法；對數求導法；多元函數求導法

形如y=u(x)v(x)(u(x)>0，u(x)≠1)的函數，稱為冪指函數.它既不是冪函數，也不是指數函數，但兼具兩者的特征，在高數中是一類比較復雜的函數.本文在討論冪指函數的幾種常用求導方法的基礎上進行了推廣.

一、冪指函數求導的幾種常用方法

1.對數求導法

對冪指函數y=u(x)v(x)兩邊同時取對數得lny=v(x)lnu(x)，然后兩邊同時關于自變量x求導，可得

1y#8226;y′=v′(x)lnu(x)+v(x)#8226;1u(x)u′(x).

∴y′=y#8226;v′(x)lnu(x)+v(x)#8226;1u(x)u′(x)

=u(x)v(x)#8226;v′(x)lnu(x)+v(x)#8226;1u(x)u′(x).

例1 求y=xcosx(x>0，x≠1)的導數.

解 兩邊取對數，得lny=cosxlnx，兩邊求導，得

1y#8226;y′=(cosx)′#8226;lnx+cosx#8226;(lnx)′.

∴y′=xcosx#8226;-sinx#8226;lnx+1x#8226;cosx.

2.復合函數求導法

通過恒等變形，冪指函數y=u(x)v(x)可變為復合函數y=ev(x)lnu(x).利用復合函數求導公式，可得

y′=ev(x)lnu(x)#8226;［v(x)lnu(x)］′

=ev(x)lnu(x)#8226;v′(x)#8226;lnu(x)+v(x)#8226;u′(x)u(x)

=u(x)v(x)#8226;v′(x)#8226;lnu(x)+v(x)#8226;u′(x)u(x).

由此可得例1的解為

y′=xcosx#8226;(cosx)′lnx+cosx#8226;x′x

=xcosx#8226;-sinx#8226;lnx+1x#8226;cosx.

3.利用多元函數求導公式法

除了上述兩種方法，冪指函數的導數還等于將u(x)看成常數時指數函數的導數加上將v(x)看成常數時冪函數的導數，即(uv)′=uv#8226;lnu#8226;v′+v#8226;uv-1#8226;u′.

則例1的解為

y′=xcosx#8226;lnx#8226;(cosx)′+cosx#8226;xcosx-1#8226;x′

=-xcosx#8226;lnx#8226;sinx+cosx#8226;xcosx-1

=xcosx#8226;-sinx#8226;lnx+1x#8226;cos.

上述三種方法是冪指函數求導常用的方法.通過比較，我們發現前兩種方法都需先對函數進行恒等變形再求導，而多元函數求導公式法較為簡單，直接等于將u(x)看成常數時指數函數的導數加上將v(x)看成常數時冪函數的導數，這種方法我們還可以推廣到函數的其他運算上.

二、冪指函數求導方法的推廣

命題 設F［u(x)，v(x)］是關于變量u(x)，v(x)的四則運算或冪指運算，則F′［u(x)，v(x)］=F′［u，v(x)］+F′［u(x)，v］，其中F′［u，v(x)］表示把u(x)看成常數，F對v(x)的導數；F′［u(x)，v］表示把v(x)看成常數，F對u(x)的導數.

證明 當F［u(x)，v(x)］分別取關于變量u(x)，v(x)的四則運算或冪指運算時，有

F′［u(x)，v(x)］=［u(x)±v(x)］′=u′(x)±v′(x)

=［u(x)±v］′±［u±v(x)］′

=F′［u(x)，v］+F′［u，v(x)］，

F′［u(x)，v(x)］=［u(x)#8226;v(x)］′

=u′(x)#8226;v(x)+u(x)#8226;v′(x)

=F′［u(x)，v］+F′［u，v(x)］，

F′［u(x)，v(x)］=u(x)v(x)′

=u′(x)v(x)-u(x)v′(x)v2(x)

=u′(x)v(x)v2(x)+-u(x)v′(x)v2(x)

=-u(x)v′(x)v2(x)+u′(x)v(x)

=F′［u，v(x)］+F′［u(x)，v］，

F′［u(x)，v(x)］=(uv)′=uv#8226;lnu#8226;v′+v#8226;uv-1#8226;u′

=F′［u，v(x)］+F′［u(x)，v］.

命題得證.

例2 求解下面函數的導數

（1）(6ax-3tanx)′；（2）(xcosx)′；（3）lnxx′；（4）(sinxlnx)′.

解 （1）(6ax-3tanx)′

=［(6ax)′-0］+［0-(3tanx)′］

=6axlna-3sec2x.

（2）(xcosx)′=(x)′cosx+xcos′x=12xcosx-xsinx.

（3）lnxx′=ln′xx+lnx#8226;1x′=1x2-lnxx2，

（4）(sinxlnx)′

=lnx#8226;(sinx)lnx-1#8226;(sinx)′+(sinx)lnxln sinx(lnx)′

=lnx#8226;(sinx)lnx-1#8226;cosx+1x(sinx)lnxln sinx.

三、小 結

本文對冪指函數的求導方法進行了討論和推廣，得出了一個關于兩個初等函數四則運算或冪指運算式的通用求導方法，運用該方法進行求導簡單、易記，便于學生掌握.

【參考文獻】

［1］盛祥耀.高等數學（上冊）.第三版.高等教育出版社，2004.

［2］黃開新.工科應用數學.北京：高等教育出版社，2008.

［3］朱建國.計算機應用數學.北京：高等教育出版社，2008.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文