關(guān)于高中數(shù)學(xué)一題多解

【摘要】在如今的教學(xué)過程中，我們不難發(fā)現(xiàn)：對(duì)于同一問題，由于思考的角度不同，解題的思路和方法也各異.通過不同的思路去解答同一個(gè)問題，引導(dǎo)學(xué)生講述各自解題思路及算理，溝通解與解之間的聯(lián)系，促進(jìn)思維發(fā)展，從而得出某一問題的多種解答.

【關(guān)鍵詞】新課程；思維發(fā)散；學(xué)習(xí)興趣

在新課程教學(xué)理念下，教師要有意識(shí)地激發(fā)學(xué)生思維的創(chuàng)造性、靈活性，使學(xué)生在積極主動(dòng)的狀態(tài)下探索，為學(xué)生的思維發(fā)散提供情景、條件和機(jī)會(huì).從而培養(yǎng)學(xué)生濃厚的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.

例 設(shè)x，y∈R且3x2+4y2＝6x，求x2+y2的范圍.

思路1 設(shè)k＝x2＋y2，代入消去y，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解時(shí)求參數(shù)k范圍的問題.

解 由6x-3x2＝4y2≥0，得0≤x≤2.

設(shè)k＝x2＋y2，則y2＝k-x2，代入已知等式，得

-x2+4k-6x=0.

即k＝14(x+3)2-94.

又 0≤x≤2，∴k∈［0，4］.

即x2＋y2的范圍是0≤x2＋y2≤4.

注 要注意隱含條件，即x的范圍.

思路2 數(shù)形結(jié)合法（轉(zhuǎn)化為解析幾何問題）.

解 由3x2＋4y2＝6x，得(x-1)2＋y234＝1，即表示一個(gè)橢圓，其中橢圓在x軸上的頂點(diǎn)分別為(0，0)，(2，0)，而x2＋y2的幾何意義就是橢圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方.

結(jié)合圖形不難得出d2min=(0-0)2+(0-0)2=0，d2max=(2-0)2+(0-0)2=4.

即x2＋y2的范圍是0≤x2＋y2≤4.

思路3 三角換元法，對(duì)已知式和待求式都可以進(jìn)行三角換元（轉(zhuǎn)化為三角問題）.

解 由3x2＋4y2＝6x，得(x-1)2＋y234＝1.

設(shè)x-1=cosα，y=32sinα，

則x2＋y2＝1＋2cosα＋cos2α＋34sin2α

＝1＋34＋2cosα+14cos2α

＝14cos2α＋2cosα＋74

=14(cosα+4)2-94.

又 ∵cosα∈［-1，1］，∴x2+y2∈［0，4］.

即x2＋y2的范圍是0≤x2＋y2≤4.

注 本題運(yùn)用多種方法進(jìn)行解答，實(shí)現(xiàn)了多種角度的轉(zhuǎn)化，聯(lián)系了多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，有助于提高學(xué)生的發(fā)散思維能力.

進(jìn)行一題多解的訓(xùn)練，是培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性，提高學(xué)生的變通能力與綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的行之有效的方法，能促進(jìn)學(xué)生智能和思維的發(fā)展，起到意想不到的教學(xué)效果.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文