函數積分法變系數非線性方程的求解方法研究

【摘要】雖然變系數非線性方程對現實中物理問題有很好的描述，但是其求解非常困難.本文介紹函數積分法在一類變系數非線性方程求解過程中的應用.

【關鍵詞】函數積分法；變系數非線性方程

在非線性科學中非線性問題的求解是一個非常重要的工作，在現實生活中，變系數方程又能較好地對實際物理問題進行描述.由于非線性偏微分方程有著無限多的解，因此給非線性方程的求解帶來了極高的難度.目前，雖然有許多能夠求解非線性偏微分方程的方法，但是這些方法都是針對常系數的非線性偏微分方程，對于是變系數的非線性偏微分方程，求解的方法還是非常有限.為此，本文研究函數積分法對一類變系數非線性方程的求解.

1.變系數非線性方程的函數積分解法

首先，假定變系數非線性方程

U(t，x，u，ux，uxx，…)=0（1）

的解可以展開成（2）式所示的形式：

u(x，t)=∑Nn=0An(t)Fn，F=F(ξ)，ξ=f(t)x+g(t).（2）

其中An(t)(0≤n≤N)，f(t)，g(t)是一些待定的函數，加入在非線性方程的求解過程中，能夠將它的各階的導數轉化成為多項式的形式，那么這個非線性方程的求解過程就可以大大的簡化.因此，假設變系數方程Fξ=p+qF+rF2中F=F(ξ)，并且ξ=f(t)x+g(t)，其中的p，q，r是常數.

當q2<4pr時，可以通過對方程兩邊積分得到：

F=4pr-q22r#8226;4pr-q22(ξ+C1)-q2r.（3）

當4pr=q2時，可以通過對方程兩邊積分得到：

F=-q2r-1rξ+C2.（4）

當q2>4pr時，可以通過對方程兩邊積分得到：

F=q2-4pr4#8226;C3eq2-4prξ1-C3ep2-4qrξ+q2-4pr-q2r.（5）

其中（3）（4）（5）式中的C1，C2，C3是積分的常數，利用這三個變換，就可以得到一類變系數非線性方程的解.

2.函數積分法在廣義變系數KdV方程求解中的應用

首先，將廣義變系數KdV方程變形為如下形式：

u=A0(t)+A1(t)F+A2(t)F2，（6）

從而可以根據變系數截斷法可以得到：

ut=A0t+pA1ξt+(A1t+qA1ξt+2p+A2ξt)F+(rA1ξt+A2t+2qA2ξt)F2+2rA2ξtF3，（7）

ux=ξx［pA1+(qA1+2pA2)F+(rA1+2qA2)F2+2rA2F3］.（8）

將（7）（8）兩式代入（1）式，求解得到：

A2=4r2cξ2x=4r2cf2(t)，A1=4qrcξ2x=4qrcf2(t)，（9）

ξ1+［α(t)+β(t)x］f(t)-rγ(t)A0f(t)+(q2+8pr)#8226;γ(r)f3(t)=0.（10）

由（10）式可以看出，之前的假設是成立的.并通過系數對比，可以得到：

ft=-β(t)f(t)，gt=-α(t)f(t)+3cγ(t)A0f(t)-(q2+8pr)γ(t)f3(t).（11）

從而得到方程的精確解：

u=A0+4qrcf2(t)F(ξ)+4r2cf2(t)F2(ξ)

=A0+4rcf2(t)［qF(ξ)+rF2(ξ)］.(12)

根據（12）式中p，q，r取值的不同，可以得到廣義變系數KdV方程的精確解.

當q2<4pr時，

u=e-2∫βdtC0-C2fq2c+(4pr-q2)C2fc#8226;4pr-q22(ξ+C1) .(13)

當q2=4pr時，

u=e-2∫βdtC0-4prC2fc+(4r2)C2fc#8226;1(rξ+C2)2.（14）

當q2>4pr時，

u=e-2∫βdtC0-4prC2fc+4(q2-4pr)C2fc#8226;C3eq2-4prξ(1-C3eq2-4prξ)2.（15）

在（13）（14）（15）式中，若q2-4pr2=1，得到的結果與文獻［1］中所得到的結果相一致.對于一類變系數非線性方程使用函數積分法來求解是可行的.

【參考文獻】

［1］谷超豪，等.孤立子理論與應用［M］.杭州:浙江科學技術出版社，1990.

［2］杜杰.非線性科學的回顧［J］.南京工業大學學報(社會科學版)，2010(2)：68-72.

［3］郭柏靈.非線性演化方程［M］.上海:上?？萍冀逃霭嫔?，2005.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文