用《余商法》對π值進行分析

【摘要】值的小數部分是一個循環小數中的一部分，而不是無限不循環小數.

由于《余商法》只對“可能有的余數”進行運算，所以π的整數部分不在研究范圍.只對小數部分0.1415926…進行研究.

一、分 析

有這樣一個數列：3×101+3×102+3×103+…+3×10n+1.

當n等于1時是這個數列的第1個數31，當n等于2時是這個數列的第2個數331，當n等于3時是這個數列的第3個數3331……直到n趨近于∞.當n趨近于∞時，n→2（任何數趨近于∞都趨近于2）數列3×101+3×102+3×103+…+3×10n+1趨近于331.

31，2節素數，431≈0.1…4是31可能有的余數中的一個、1是31可能有的余數中的第一個、30也是31可能有的余數中的一個.還原π值（精確到10分位）：

3×31+431≈3.1…

131=0.032258064516129…1，

3031=0.967741935483870…30.

對應數的和相等并等于9.

431=0.129032258064516…4.

431≈0.1…只顯示了全部商位數中的一部分.還原π值（精確到10分位）：

3×31+431=9731≈3.1…

331，3節素數47331≈0.141…只顯示了全部商位數中的一部分.47是331可能有的余數中的一個.還原π值（精確到100分位）：

3×331+47331=1040331≈3.14…

3331，1節素數4713331≈0.141…只顯示了全部商位數中的一部分，471是3331可能有的余數中的一個.還原π值（精確到1000分位）：

3×3331+4713331=104643331≈3.141…

33331，3節素數471933331≈0.1415…只顯示了全部商位數中的一部分，4719是33331可能有的余數中的一個.還原π值（精確到10000分位）：

3×33331+471933331=10471233331≈3.1415…

333331，1節素數47197333331≈0.14159…只顯示了全部商位數中的一部分，47197是333331可能有的余數中的一個.還原π值（精確到100000分位）：

3×333331+47197333331=1047190333331≈3.14159…

3333331，1節素數4719753333331≈0.14159492…只顯示了全部商位數中的一部分，471975是3333331可能有的余數中的一個.還原π值（精確到1000000分位）：

3×3333331+4719753333331=104719683333331≈3.141592…

33333331，1節素數471975533333331≈0.1415926…只顯示了全部商位數中的一部分，4719755是33333331可能有的余數中的一個.還原π值（精確到10000000分位）：

3×33333331+471975533333331=10471974833333331≈3.1415926…

333333331，17的倍數47197551333333331≈0.141592653…19607843×17.

只顯示了全部商位數中的一部分，47197551是333333331可能有的余數中的一個.還原π值（精確到10000000分位）：

3×333333331+47197551333333331=1047197544333333331≈3.14159265…

3333333331，未知4719755113333333331≈0.141592653…只顯示了全部商位數中的一部分，471975511是3333333331可能有的余數中的一個.還原π值（精確到1000000000分位）：

3×3333333331+4719755113333333331=104719755043333333331≈3.141592653…

33333333331，未知471975511933333333331≈0.1415926535…只顯示了全部商位數中的一部分，4719755119是33333333331可能有的余數中的一個.還原π值（精確到100000000000分位）：

3×33333333331+471975511933333333331=10471975511233333333331≈3.1415926535…

333333333331，未知47197551196333333333331≈0.14159265358…只顯示了全部商位數中的一部分，47197551196是333333333331可能有的余數中的一個.還原π值（精確到10000000000000分位）：

3×333333333331+47197551196333333333331=1047197551189333333333331≈3.14159265358…

3333333333331，未知4719755119653333333333331≈0.141592653589…只顯示了全部商位數中的一部分，471975511965是3333333333331可能有的余數中的一個.還原π值（精確到100000000000000分位）：

3×3333333333331+4719755119653333333333331=104719755119583333333333331≈3.141592653589…

33333333333331，未知471975511965933333333333331≈0.1415926535897…只顯示了全部商位數中的一部分，4719755119659是33333333333331可能有的余數中的一個.還原π值（精確到100000000000000分位）：

3×33333333333331+471975511965933333333333331=10471975511965233333333333331≈3.1415926535897…

333333333333331，未知47197551196596333333333333331≈0.1415926535897…只顯示了全部商位數中的一部分，47197551196596是333333333333331可能有的余數中的一個.還原π值（精確到1000000000000000分位）：

3×333333333333331+47197551196596333333333333331=1047197551196589333333333333331≈3.1415926535897…

3×101+3×102+3×103+…+3×10n+1

47197551196596…3×101+3×102+3×103+…+3×10n+1≈0.1415926535897…

只顯示了全部商位數中的一部分，因為數字太大，既看不到開始部分，13×101+3×102+3×103+…+3×10n+1≈0.000…也看不到結尾部分

3×101+3×102+3×103+…+3×10n3×101+3×102+3×103+…+3×10n+1≈0.999…

由此可見π的小數部分不是一個無限不循環小數，而是一個循環小數中的一部分：

開始部分：

13333333333333333333333333333331≈0.000…

其中一部分：

4719755119659774605421446109293333333333333333333333333333331≈0.141592653589793238162643383279…

上式的對應部分：

4719755119659774605421446109293333333333333333333333333333331≈0.85840734641020676183735661672…

結尾部分：

3000000000000000000000000000003333333333333333333333333333331≈0.999…

但是，適用范圍只在31至∞之間.當數大到趨近于∞時，將不支持一切運算方法（加、減、乘、除法包闊“余商法”）.

上述公式中分母每增加1個3，π的小數部分的準確值將增加1位數.

由于33333331是一個1節循環素數，所以只要

133333331≈0.000…1415926…8584073…999就可以把33333331可能有的余數1~33333330全部包括在內，不重復、不余漏.得到精確到百萬分位的π值.示意圖如下：

133333331≈.

133333331≈0.000…1415926…8584073…999.

上式中紅字表示π值部分.

由上圖可以看出到精確到百萬分位的π值只是1節循環素數33333331商位中的一小部分，（π值只有7位數，而133333331要算33333330次，其他數有33333323個）隨著3×101+3×102+3×103+…+3×10n3×101+3×102+3×103+…+3×10n+1≈0.000…0.999…的除數增大，π值的精確數也就增大.上述公式中分母每增加1個3，π的小數部分的準確值將增加1位數.所以在算π值的精確數時看不到循環素數3×101+3×102+3×103+…+3×10n+1的循環點，就會把π值小數部分誤認為是無限不循環數.而π值小數部分實際是一個循環小數中的一部分.只是精確大小不同，精確數越大，π值小數部離循環點的距離越遠.π值小數部分再大，永遠也比它所在的循環小數位數少得多.

不但3×101+3×102+3×103+…+3×10n+1數列中的1節循環素數有上述性質，多節循環素數也有上述性質.如：331（3節）、33331（3節）不但3×101+3×102+3×103+…+3×10n+1數列中的循環素數有上述性質，奇合數也有上述性質.如：333333331（17×19607843）.

類似3×101+3×102+3×103+…+3×10n+1的其他數還有很多：

π=227、π=355113=3.1415926兩式中的除數都是1節循環素數.

π=227=3.142857…小數部分是：0.142857…1，即17=0.142857…1.

π=355113=3.1415926…小數部分是：0.1415926…，即16113=0.1415929…16.

210000133，29734683210000113=0.141592965…29734683.

這個數字太大了不好理解，換一個小數字來看，如7：7可能有的余數分別是1，2，3，4，5，6.

17=0.142857…1，紅字表示精確到百分位的π值，很容易看見.

27=0.285714…2，紅字表示精確到百分位的π值，不容易看見.

37=0.428571…3，紅字表示精確到百分位的π值，很不容易看見.

47=0.571428…4，紅字表示精確到百分位的π值，不容易看見.

57=0.714285…5，紅字表示精確到百分位的π值，不容易看見.

67=0.857142…6，紅字表示精確到百分位的π值，不容易看見.

17=.

對應數的和等于9.

由此可見，數字太大要從頭看或從尾看很難看到精確到n分位的π值，要看到明顯得到精確到n分位的π值，就很難看到首數和尾數，而要看到首數和尾數，才能判斷循環或不循環.小的數字就可以看到循環的全過程，也可以明顯得到精確到n分位的π值的小數部分是在一個循環小數中的一部分，而不是無限不循環小數.

二、結 論

1.用“余商法”的觀點看，在自然數的除法運算中無限不循環小數是不存在的.

因為在自然數的除法運算中小數的產生是由某自然數做除數，其可能有的余數做被除數所產生的商位（商的位數：小數部分的位數），此定義就是“余商法”.而自然數是有限的(1≤an<∞)，其可能有的余數也是有限的（1→(an-1)），它們的商位（小數部分的位數）也是有限的，不會超過（an-1），所以自然數的除法運算中無限不循環小數是不存在的.

2.因為π值是圓的周長和直徑之比，是自然數的除法運算，不是開方運算，所以π值的小數部分是在一個循環小數中的一部分，而不是無限不循環小數.

【參考文獻】

［1］王元和.余商法.中國科教創新導刊，2009（32）：90.

［2］王元和.用《余商法》的公式證明哥德巴赫猜想.2011（5）：88.

［3］王元和.7千萬以內帶有商位和節數的素數表.博客網址：http://blog163comP-N-Wang/.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文