數學教學中形象思維的培養

多年來我國倡導素質教育，近幾年課程改革的目的是要培養和造就創新性人才.《普通高中數學課程標準》提出培養和發展學生的“幾何直觀能力”.然而目前不少教師仍然只重視抽象邏輯思維和純理論探索，很少注意培養發現、提出問題，創造性解決問題的能力，更少顧及如何較深層引發學生數學形象思維.本文探討在數學教學中如何培養學生的形象思維.

一、形象思維與數學形象思維

形象思維又叫藝術思維.它是依靠形象材料意識領會得到理解的思維，形象材料是指客觀事物整體在人腦中形成表象，表象是人腦對當前沒有直接作用于感覺器官，以前感知過事物形象的感性映象.數學形象思維是人腦對數學對象：具體實物，客觀現象，數學概念、符號、圖形、模型、命題、論證等信息進行加工并得出新數學表象的思維.它不像數學抽象思維靠數學概念，有理有據按邏輯順序推理下去，而是對“數學表象”進行自由分解、整合及比較、選擇，把代表事物本質特點的形象抽取出來加以概括，構成一個新形象.因此能引發出新結構、新概念、新關系，需要數學抽象邏輯思維進一步修正和補充，才能上升為創造性思維.笛卡爾發明解析幾何就是借助于形象思維的.

二、數學形象思維的基本形式

1.表 象

它是人腦對數學物象進行形式結構特征概括而得到的觀念性形象.例如：車輪、乒乓球、水管截面這些具體實物在我們腦中浮現不同單個表象，由這些單個表象概括出來共同形式結構特征——“圓形”，就是圓形類物體的數學表象.它可以外化為通常所指圓的幾何圖形.又通過對畫圓的學習，發現圓是平面上到定點距離等于定長點的軌跡，于是形成了“軌跡之圓”數學表象.進一步學習集合之后，動點到一定點等于定長點的集合，又會形成“點集之圓”數學表象.能否形成正確數學表象，對整個數學思維活動的成功起決定作用.

2.聯 想

數學聯想是指由一個數學表象想到另一個數學表象的思維活動.我們在數學思維活動中，已存儲建構了豐富的數學表象，這些表象信息以結點網絡方式儲存于長時記憶中，每個表象信息可能是一個束集，當束集中某一表象信息被激活，這個束集或說表象就被激活，只要問題引發，若干表象聯系在一起就得出了其他數學表象.從而凸顯出數學問題的本質屬性.

3.想 象

它是以不同數學記憶表象為基礎，運用已有數學思想觀念，進行分解、重組，創造出新復合形象的思維活動.它是似真推理，其結果不一定都正確.而數學直覺思維中的想象，不一定建立在聯想之上，是一種直接對事物頓悟，是比數學形象思維更加自由、更加豐富的想象.二者都不受嚴格邏輯規則約束，但其結果都必須經過數學抽象邏輯思維檢驗.想象是創造性思維的重要成分.不論科學進步還是數學中的發明和創造，沒有想象展開是不可能實現的，就連日常生活也是離不開的.我國數學家劉徽運用想象創立了割圓術.

三、數學形象思維的培養

1.教學中“變式”的引發，對于式子等價或不等價轉換及公式逆用提供了式結構形象識別，有利于提高解題思維的快速敏捷性.如，公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3變為(a+b)3-a3-b3=3ab(a+b)，a3+b3=(a+b)［(a2+b2)-ab］等.

例1 已知a，b，c是不全等的正數，證明：(a2b+b2c+c2a)(ab2+bc2+ca2)>9a2b2c2.

分析 刺激反應“證不等式”，喚起“歸類”數學觀念，兩邊同除以a2b2c2，于是引發將問題圖式表象進行分解組合操作.感知左邊，腦中浮現均值不等式，進行邏輯推演得證.

2.教學中“變圖”訓練對正確掌握數學概念，豐富外延表象和引導解題都至關重要.（例略）

3.教學中對具有部分特征的數學對象要引導學生進行表象補形.幾何常添設輔助線、圖;代數常用0與1代換、構造法、拆添項法、配方法等，使表象模式結構成為主體頭腦中已建構最好、最規則的數學表象模式，從而問題獲解.

例2 如圖，某處有一座塔AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上.如果CD與地面成45°，∠A=60°，CD=6 m，BC=(66-32) m，求塔高AB(精確到0.1 m).

分析 觀察圖形，易想到將四邊形ABCD補形成三角形.延長AD交地面BC于E，Rt△ABE顯露出來，過D點作DF⊥BE于F.利用腦中已建構的解直角三角形知識，可求得塔高AB的值.

4.教學中始終加強培養學生根據數學問題圖形特征、題型結構、有關性質，運用類比聯想方法，尋找合適類比對象，借鑒熟悉問題解題的思想和方法，探索待解問題思路，再推理演算肯定與否定.這是掌握知識擴大知識范圍，獲得科學和數學命題的重要手段.

例3 設x，y∈R，求證:x2+y2-14x-4y+53+x2+y2-2x+12y+37>989.

解法1 類比啟發:不等式左邊經過配方看成三點間兩邊距離之和，即動點P(x，y)與定點G(7，2)，H(1，-6)的距離之和.引出原型:三角形任意兩邊之和大于第三邊.可證.

解法2 設橢圓半長軸為參數a且取正數，類比啟發:不等式左端是2a，引出原型:2a>2c，且2c是兩定點間的距離.

5.重視培養學生對數學內容從數形兩方面進行對應表征，引導數形結合.（例略）

綜上所述，數學形象思維的三種形式間存在深刻辯證關系，數學表象是數學聯想和數學想象的基本材料，數學聯想和數學想象又互為表里，互相滲透，彼此互譯和不斷切換，形成人類高級的思維.數學形象思維與發展創造能力密切相關，要培養創新型人才，我們必須在教學教育中，大力加強如何能較深入地培養學生數學形象思維的研究，以達到新課標預期效果.

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