利用相關點法例求圓錐曲線特殊點的軌跡方程

【摘要】利用相關點法（轉移代入法）求圓錐曲線特殊點的軌跡方程，在具體求法中主要分兩種方法：定義轉化法、參數轉化法，確定相關點的幾何特征（方程）關系，求出所求點與相關點的坐標關系是解題之關鍵.

【關鍵詞】相關點法（轉移代入法）；定義轉化法；參數轉化法；幾何特征；相對不變量

當圓錐曲線在某種限制條件下運動變化時，圓錐曲線的特殊點（中心、圓心、焦點、頂點等）就形成某種軌跡，現就相關點法（也稱“轉移代入法”）在求特殊點軌跡中的具體應用給予舉例說明.

一、定義轉化法

例1 過原點的雙曲線，以F(4，0)為一個焦點，且實軸長為2.求此雙曲線的中心軌跡方程.

解 設雙曲線的中心為M(x，y)，雙曲線的另一焦點F′(x′，y′)，則由中點坐標公式x′+4=2xy′=2yx′=2x-4，y′=2y.雙曲線過原點，由雙曲線第一定義，可得|OF|-|OF′|=±2，因此，4-(2x-4)2+4y2=±2，化簡得(x-2)2+y2=1，或(x-2)2+y2=9.因為|FF′|>2，所以(2x-4-4)2+4y2>4，化簡得(x-4)2+y2>1，所以點M不取(3，0)，(5，0).因此，雙曲線中心的軌跡方程(x-2)2+y2=1（除去（3，0）點），或(x-2)2+y2=9（除去（5，0）點）.

點評 涉及圓錐曲線的實軸，且為定值，可考慮利用其第一定義轉化法求之.

例2 一系列橢圓，經過M(1，2)，e=12，y軸是它們的公共準線，求橢圓右焦點的軌跡方程.

解 設橢圓的右焦點為F2(x，y)，左焦點在F1(x′，y′)，左右兩頂點分別為A，B，A到y軸的距離為d1，兩準線間的距離為d.

(1)利用轉移代入法求F1(x′，y′)坐標，用F2(x，y)坐標表示，d=2a2c.又e=ca=12a=2c，2d1=d-2a1=2a2c-2a=2×4c2c-4c=4c，所以d1=2c，利用橢圓的幾何特征，得x=2c+a-c+2c=5c，x′=x-2c=3c，所以x′=35x，y′=y.

（2）由橢圓第二定義，得|MF1|1=e=12，坐標化(x′-1)2+(y′-2)2=12，所以35x-12+(y-2)2=12，化簡得35x-12+(y-2)2=14，所求軌跡為以53，2為中心，長半軸為56，短半軸為12的橢圓.

點評 涉及圓錐曲線焦點、離心率及準線等，可考慮利用第二定義轉化法求之.

二、參數轉化法

例3 求以x=-2為準線，且e=22，對稱中心在圓x2+y2=1上的橢圓右焦點的軌跡方程.

解 設橢圓對稱中心O′(cosθ，sinθ)，右焦點F2(x，y)，由橢圓的幾何特征，得cosθ-(-2)=a2c=c#8226;a2c2=c#8226;1e2=2c，所以c=cosθ+22，所以x=c+cosθ=cosθ+cosθ+22=32cosθ+1.又y=sinθ，消參數，得(x-1)2322+y21=1，所求軌跡為以（1，0）為中心，長半軸為32，短半軸為1的橢圓.

點評 本題也可以用代數轉移轉化法解題，設橢圓對稱中心O′(x′，y′)，右焦點F2(x，y).

小結 利用相關點法解決這類問題的一般思路：

1.確定所求軌跡點（被動點）的相關點（主動點）是哪一個點.

2.利用幾何特征求出所求軌跡點與相關點之間的坐標關系，這是求圓錐曲線特殊點軌跡方程的關鍵.在整個動態的圓錐曲線系統中，要動中求靜，找出相對不變量的關系式，如：準線間距離、兩焦點之間距離等；以a，b，c中的某一量為中間參數，尋求所求軌跡點、相關點坐標與中間量的關系.

3.若相關點在圓錐曲線本身的動態系統中因其運動，尋求相關點的幾何特征關系（如利用圓錐曲線的第一、第二定義），將相關點的坐標關系代入幾何特征關系，得到所求點的軌跡方程；若相關點在圓錐曲線外的其他曲線上運動，將其相關點坐標關系代入相關點所在的曲線方程，得到所求點的軌跡方程.

三、練習題

1.已知雙曲線的虛軸長、實軸長、焦距成等差數列，以y軸為右準線，且過點A(1，2)，求雙曲線右焦點F的軌跡.

2.已知圓的方程為x2+y2=4，A，B兩點坐標為A(-1，0)，B(1，0)，又動拋物線經過A，B兩點，而且以圓的切線為準線，求拋物線焦點軌跡方程.

3.過原點的動橢圓上的一個焦點F(1，0)，長軸長為4，求動橢圓的中心軌跡方程.

【參考文獻】

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