從《一》與《多》的辯證關系談小學數學中的集臺思想

集合思想創建者是德國數學家G·康托爾于1874年提出的，我國在1978年以后編的小學數學教材中也滲透了集合思想。在小學數學教材中也有所體現。小學數學教材中的知識點很多，通常我們更強調知識的聯系性或是連續性，即如果學生對某個知識點含糊不清，會影響后續的學習，形成知識系統中的“斷層”。而忽視了了某些知識之間不是前后連結的關系，而是集合中元素與集合的關系，即如果學生對這類知識分不清主次先后，上位概念與下位概念的關系，容易出現錯誤或混淆。大多數關于集合思想的研究集中于小學數學中集合思想中子集、交集、并集、差集、空集等在數學教學中的單個應用。而筆者主要從“一”與“多”的辯證關系談小學數學中的集合思想。

在數學中，集合是一個原始的概念，這如同幾何學中的“點”、“線”一樣，不能用別的概念加以定義。集合一般的描述是：在一定范圍內的個體事物的全體，當將它們看作一個整體時，我們把這個整體稱為一個集合，其中每個個體事物叫做該集合的元素。例如：一個班級的學生組成一個集合，其中該班級中的每個學生是該集合的一個元素；直線上所有的點構成一個集合，其中的每個點是該集合的一個元素；所有自然數組成的集合一般用N表示。一個集合可以通過列舉其元素a，b，c…來表示，并記為｛a，b，c…｝

“一”這個數量單位，看似簡單，兒童還在牙牙學語的時候，就知道了，尤其是現在的學前教育之后的孩子知道的數更可以達到數以百千。而我們的小學一年級教育應該著眼的重點不應該僅僅是1的讀、寫、認、數，而應該更多的考慮1與多之間的關系。首先“一”包含于“多”，聚“一”為“多”。

“1”是整個正負數系統中的基數，它自身繼續向加，可以得到任何其他的自然數。例如：1+1=2，2+1=3，3+1=4……這樣繼續下去可以得到無窮的自然數列。1屬于自

然數這個集合中的元素。一般在低年級結合認數教學進行，如，一個小隊有8個同學，8個同學是8個1。在認識O—lO這11個數的時候還可以結合集合圈來進行。如：2{1，l}，3{l，1，1}，4{1，1，1，l ｝……學生會發現一個集合中有幾個元素就用“幾”來表示，形象的將集合中的元素和基數概念有機的聯系起來了。或者3{1，2}……。在教授10以內數的認識的時候，用集合的思想，學生不僅認識了這些數，還認識了這些數可以有相同的幾個數組成，或者不同的幾個數組成，還附帶接觸到“等分”“不等分”“余數”等概念。其次“多”包含于“一”。

在引入分數之后，“1”是分子和分母相等的一切分數的值。例如：1／1=1，2／2=l，3／3=l……。在這里像這樣的值為“1”的分數組成了一個集合，而這些分數就是這個集合中的元素。“一”作為集合整體還體現在應用題教學中。例如，學習一個數是另一個數的幾倍或是幾分之幾的時候。用下圖表示有6個正方形，3個圓，正方形的個數是圓的幾倍?

這時候把3個圓看作一個集合，也就是我們通常所說的l份，那么正方形的個數就是這樣的2份，我們就說正方形的個數是圓的2倍。很顯然，在這里圓被看作1份的“1”，不是個數1，而是圓的總量是個集合。這里的1份包含了3個，也可以說3個包含于“1”份當中。

然而如果我們把上面這題改為圓的個數是正方形個數的幾分之一。這時候就要將正方形的個數看作“1”，當作一個集合整體，將改整體平均分成2份，其中1份與圓的只數相等，所以說圓的個數是正方形個數的二分之一。這里的“l”不是包含3個，而是6個，也就是說6包含于“1”之中。

像這樣把“多”當作“1”，“1”里面包含“多”，將“1”作為一個集合概念的情況還有很多，諸如在學習分數時，分“1”為“多”，如將一個餅平均分，每一份都是“l”的元素。而在分數、百分數應用題中這樣的關系就更加明顯了。當然在小學數學知識中不僅僅只有這些方面可以從“1”與“多”，集合與元素的關系來分析。我們在教學過程中要仔細分析，應用集合思想，讓學生在學習中獲得的不是孤立的知識點，而是相互呼應，渾然一體的有機整體，形成良好的認知結構，獲得對集合思想的感性認識，并逐步形成運用集合思想的觀念。

集合思想，是小學數學基礎知識的靈魂，在小學數學教學中，往往不直接出現集合的概念、名稱、符號和運算，而是結合數學基礎知識內容，采用直觀手段，利用形式多樣、生動活潑的集合圖畫來滲透集合的思想。如用圓圈圖(韋恩圖)向學生直觀的滲透集合概念，讓他們感知圈內的物體具有某種共同的屬性，可以看作一個整體，這個整體就是一個集合。我們教師應首先感知到這些內容中存在集合的思想，要做教育的有心人，在適當的時候有意點撥，讓集合思想在小學生的頭腦中逐漸扎根。