“有理數的運算”教學中需明確的幾個問題

〔關鍵詞〕 數學教學；有理數；運算；性質符號；運算

符號；加法；減法

〔中圖分類號〕 G633.6２〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463（201１）０9（B）—0046—0２

“有理數的運算”是中學數學的重要教學內容之一，它是對學生在小學學過的“不帶符號的整數、小數、分數的運算”的拓展。因此，如果不去揭示有理數與學生已學過的不帶符號的數之間的關系、性質符號與運算符號之間的關系，而重新去建立一整套運算法則，往往就會使學生在學過有理數之后，反而把以前學過的簡單問題復雜化了。因此，本人認為在教學有理數的意義和運算的過程中需要明確以下幾個問題。

一、有理數和不帶符號的數都是客觀存在的

在自然界里，任何靜止、平衡都是相對的，絕對運動和相對靜止是客觀存在的。我們知道，客觀存在的事物必有一定的空間形式和數量關系，因此，物體的運動狀態和靜止狀態也就需要用不同的量來表示。

小學生在低年級就會用尺子量長度，懂得物體的重量，認識貨幣，相應地認識表示這些量的整數、小數、分數，這些數就是我們用以和有理數區別開來的、不帶符號的數（不為零的算術數）。而我們在表示位置的移動、運動的速度、相反意義的量時，需要將它們的方向（意義）和數量用一個“數”來表示，這才引進了“有理數”。

至于有理數的絕對值，它僅僅是用以表示數量相同而意義相反（或運動方向相反）的兩個有理數的共同屬性。也可以說它是用以連結有理數和僅僅表示它的數量部分的那個不帶符號的數的紐帶。

二、正和負是不可分割的兩個方面

根據辯證唯物主義矛盾論的觀點，沒有正就無所謂負，同樣沒有負也就無所謂正。正和負是相互矛盾的不可分割的兩個方面，各方都以對方為自己存在的前提。由于正數的性質符號可以略去不寫，因此不帶符號的數在形式上與正數可以相同，但絕不能因此而把小學生在學習有理數以前所認識并進行運算的數就看成是正數。因為正數是相對于負數而言的，在那時沒有負數因而也就無所謂正數了。我們在表示有理數時，只要用負號就可以把表示相反意義的量的一方同另一方區別開來。

負號后面不僅可以跟隨一個不帶負號的數，也可以跟隨一個有理數，它的意義就是這個有理數的相反數。例如，－a表示a的相反數，當a是正值時，－a是負值；而當a是負值時，－a卻是正值。因而當解方程－x＝3時，x＝－3；而解方程－5x＝－10時，5x＝10，從而x＝2。也正是根據這個道理，我們就可以更容易理解兩個量的比值或變化率是負值的意義。例如，多數的金屬都是熱脹冷縮，即溫度增高時膨脹，而溫度降低時收縮。我們把表示金屬長度變化與溫度變化的兩個有理數的比，稱為某種金屬的線膨脹系數。顯然，上述線膨脹系數都是正值，因為金屬長度的變化與溫度的方向相同。反之，對于有些金屬（例如鉛）是熱縮冷脹，其長度的變化與溫度的變化方向相反，因而它的線膨脹系數就是負值。同樣，對于正比例函數y=kx，當k取負值時，它的意義就表示y和 x雖然在數量上成正比，但是變化的方向卻是相反的。

三、整體與分解是研究有理數的有效方法

為了表達相反意義的量或者說運動著的量，人們用一個不帶符號的數加上一個正號或負號，來分別表示這個量的數量和它的意義（或運動方向），這樣就構成了一個有理數。前面的正號或負號稱為有理數的性質符號，后面的不帶符號的數稱為有理數的絕對值。

我們在許多場合必須把有理數作為一個整體來研究。如，數的大小是建立在數軸上點的順序基礎上的，我們在數軸上表示一個有理數，就必須把它的兩個組成部分作為一個整體來考慮，以確定它在數軸上的位置。例如，在比較有理數＋3和－5的大小時，就只有把＋3和－5都分別作為一個整體來研究時才能得到＋3＞－5的結論。又如，在合并同類項的過程中，當需要移動項的位置時，也必須把每一項的有理數都當作一個整體看待。例如，在2a-3b-5a-7b=2a-5a-3b-7b的運算過程，就是把－5a和-3b中的－5和－3都作為一個整體來考慮時才能交換這兩項的位置。

但在有些場合下，必須把有理數分解成它的兩個組成部分來研究。在通過分析有理數的加法和乘法的意義得出運算法則時，就是這種情況。例如，在求多余6斤和不足8斤合后的總和時，小學生早就知道是把多余和不足相互抵消后仍然不足2斤。把這個運算過程加以抽象，就是對兩個有理數＋6和－8進行運算，因為它們的性質符號相反，我們就把這兩個有理數的絕對值，即兩個不帶符號的數6和8進行減法運算得到8－6＝2，而這個運算結果2的性質符號應和那個絕對值較大的有理數－8具有相同的符號，因而結果是－2。

四、加法和減法的相互轉化、有理數的運算要充分考慮其條件性和必要性

在四則運算中，加法和減法是乘法和除法的基礎。而在有理數的運算中加法和減法都是客觀存在的。因此，我們在運算過程中，把有理數的減法轉化為加法，或把有理數的加法轉化為減法來運算，轉化的條件是把減數或者帶負號的加數用它的相反數替代。這是因為加和減的意義是相反的，因而，在一個數用它的相反數代替的條件下，加法和減法可以相互轉化。

但是，在運算過程中是否需要先轉化再運算，還要考慮是否必要。我們如果把有理數表示的量還原成它的實際意義來進行運算，那么意義相同的兩個量的加、減運算實際上就是早已學過的不帶符號的數的加、減運算，因此，對于兩個符號相同的有理數的加、減運算，實質上不存在加和減的互相轉化問題。但對于異號的兩個數的加、減運算，則必須轉化成不帶符號的數的加、減運算，或相同符號的加、減運算，才能算出結果。如，9＋（－7）＝9－7＝2，6－（－2）＝6＋2＝8，－3－7＝－3＋（－7）＝－10等都是這樣的例子。

五、性質符號和運算符號具有同一性

在任何一個有理數的加、減運算的式子中，必然既有運算符號，又有性質符號，而且“加”和“正”都用“＋”號表示，“減”和“負”都用“－”號表示，這就說明了它們共處于一個統一體中。因為如果沒有運算符號，那就不是一個運算式子，而如果沒有性質符號，那就不成為有理數的運算了。又由于在用相反數代替原來的一個加數或減數的條件下，也就是在改變加數或減數的性質符號的條件下，加和減的運算可以相互轉化。例如，3－5和－5－2既可以看成3減5和－5減2，又可看成3加－5和－5加－2，至于究竟把“＋”、“－”看作是運算符號還是性質符號，則完全根據需要來決定。通常看作運算符號時運算比較方便，但在合并同類項需要移動項的位置時，則看作性質符號比較方便。

編輯：劉立英