找準切入點 構建不等式

〔關鍵詞〕 數學教學；圓錐曲線；離心率；取值范圍；

齊次不等式；數形結合；曲線范圍；三角函

數；位置關系

〔中圖分類號〕 G633.65〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2011）10（A）—0086—02

求圓錐曲線離心率取值范圍是解析幾何的一類重要題型，一直是各類考試命題的熱點.如何根據題設條件找到切入點，構建含有離心率的不等式是解決這類問題的關鍵所在，也是學生普遍感到困難之處.筆者通過具體例子就這類問題的求解方法及策略進行如下歸納，以期拋磚引玉.

一、數形結合構建關于a、c 的齊次不等式求解

例1：過雙曲線-=1 （a>0，b>0）的右焦點F作雙曲線斜率大于0的一條漸近線的垂線L，若L與雙曲線的左右支各交于一點，求離心率e的取值范圍.

略解：垂線L的方程為：y= -（x－c）.如下圖所示，因L與雙曲線的左右支各交于一點，則必有KL > KL，即->-，a22 ，即e>.

[點評]本題由動直線與雙曲線的位置關系不由動直線與相應的漸近線的關系來確定，進而推出不變量的約束條件.這是由數形結合構建a、c 的關系式的一種簡捷而直觀的方法.

二、用曲線范圍構建關于a、c 的齊次不等式求解

例2：已知雙曲線mx2－ny2=1 （m>0，n>0）的左、右焦點分別為F1、F2，若點P為雙曲線左支上一點，且|PF1|=|PF2|，求離心率e的取值范圍.

解：設|PF1|=r1，|PF2|=r2.由雙曲線的第二定義得：r1=e（-x－）=-ex－a，r2=e（-x+）=-ex+a.又∵r1=r2，∴ -4ex－4a=-ex+a， -3ex=5a， 解得x=，即≤

-a， ∴ e≤.又∵e>1，故e的取值范圍為：1

[點評]本題由動點的取值范圍是雙曲線左支上橫坐標的取值范圍，即x≤-a，從而構建a、c的齊次不等式求解.

例3：在橢圓+=1 （a>b>0）上存在一點P，使|PF1|為P到左準線的距離d與|PF2|的等比中項，求橢圓離心率的取值范圍.

解：設P（x0，y0），則P到左準線L的距離為d=+x0，由橢圓的第二定義得|PF1|=e（+x0）， |PF2|=e（-x0）.由|PF1|2=d|PF2|成立，從而有[（+x0）]2=（+x0）#8226;（-x0）， 解得x0=.由橢圓的范圍知|x0|≤a，故||≤a，解得e≥ -1.又∵0

[點評]上述解法的切入點就是抓住P點在橢圓上這一條件，從而得到|x0|≤a，構建關于a、c 的齊次不等式.

例4：已知F1、F2分別是雙曲線-=1的左、右焦點，L是左準線，若在雙曲線左支上存在點P，使|PF1|是P到L的距離d與|PF2|的等比中項，求雙曲線離心率的取值范圍.

解：設P（x0，y0），則P到左準線L的距離為d=--x0 .由雙曲線的第二定義得|PF1|=e（--x0），|PF2|=e（-x0）.由|PF1|2=d|PF2|成立，從而有[（--x0）]2=（--x0）#8226;（-x0）， 解得x0=.由雙曲線的范圍知x0≤－a，故≤-a ，a2+2ac－c2≥0，即e2－2e－1≤0 ，從而得1

[點評]上述解法的切入點就是抓住P點在雙曲線左支上這一條件，從而得到x0≤-a，構建關于a、c 的齊次不等式.

三、由三角函數的有界性和均值不等式知識構建不等式求解

例5：設橢圓+=1的兩個焦點為F1、F2，當離心率e在何范圍取值時，橢圓上存在一點P，使得∠F1PF2=120°.

解法一：在△F1PF2中，令∠PF1F2=β，∠F1F2P=α .由正弦定理得= =.又|PF1|+|PF2|=2a，則=，∴===.又 ∵ cos≤1，∴ ≥ .又0

解法二：在△F1PF2中，令PF1=r1，PF2=r2 .由余弦定理得：4c2=r12+r22-2r1r2cos120°，即4c2=（r1+r2）2-r1r2=（2a）2-r1r2 .由4a2-4c2=r1r2≤（）2=a2，得：3a2≤4c2 .又 0

[點評]方法一借助正弦定理及三角函數的有界性來構建關于a、c 的不等式；而方法二借助余弦定理及均值不等式來解決.它們有一個共同特點，那就是利用橢圓的第一定義，充分挖掘焦點、三角形的潛在條件.

四、由點與曲線的位置關系構建不等式求解

例6：已知橢圓的內接三角形有一個頂點在短軸的頂點處，其重心是橢圓的一個焦點，求雙曲線離心率e的取值范圍.

解：設橢圓的短軸頂點為A（0，b），三角形的重心即橢圓的焦點為F（c，0），△ABC的頂點為B（x1，y1），C（x2，y2）.由三角形的重心坐標公式可得x1+x2=3cy1+y2+b=0， 從而得BC的中點D（c，-）.因弦BC的中點D必在橢圓內，故+<1 ，整理得：3c2

[點評]此題應用橢圓的弦BC的中點D在橢圓內部構建了不等式，為構造a、c齊次不等式開辟了一條途徑，即求D點坐標是解決本題的切入點.

編輯：劉立英

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