求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法

〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)列通項(xiàng)公式；減法；疊加法；

累乘法；待定系數(shù)法

〔中圖分類(lèi)號(hào)〕 G633.６２〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕 C

〔文章編號(hào)〕 1004—0463（2011）１０（B）—0082—０1

求數(shù)列的通項(xiàng)公式是近年高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題具有靈活多變、綜合性強(qiáng)的特點(diǎn).為使學(xué)生較好地掌握這類(lèi)問(wèn)題的解題方法，本人結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，總結(jié)、積累了求數(shù)列通項(xiàng)公式的幾種常用方法，并在教學(xué)實(shí)踐中取得了較好的成效.

利用減法求通項(xiàng)公式

若已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系，求數(shù)列﹛an﹜的通項(xiàng)an，可用an=S1，n=1Sn-Sn-1，n≥２求解.

例1：已知數(shù)列﹛an﹜的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=n２，n≥1．求數(shù)列﹛an﹜的通項(xiàng)公式.

解：a1=S1=1.

當(dāng)n≥2時(shí)，有an=Sn-Sn-1=n２-（n-1)2=2n-1.

經(jīng)驗(yàn)證a1=1也滿足上式，所以an=2n-1.

注意：凡是遇到已知數(shù)列前n項(xiàng)和的表達(dá)式Sn求an的情況，均可以考慮用此方法.但利用此法要注意對(duì)n進(jìn)行分類(lèi)討論，若能合并時(shí)一定要進(jìn)行合并.

利用疊加法求通項(xiàng)公式

一般對(duì)形如an＋1=an＋f(n)的式子求通項(xiàng)公式，可考慮用疊加法求解.

例2：已知數(shù)列﹛an﹜滿足a1=，an+1=an＋，求an.

解：由條件知：an+1-an===-.

分別令n=1，2，3，…，(n-1)，代入上式得(n-1)個(gè)等式并累加之，即(a2-a1)＋(a3-a2)＋(a4-a3)＋…＋(an－an-1)=(1-)＋(-)＋(-)＋…＋(－).所以an－a1=1－.由a1=，得an=＋1－=－.

利用累乘法求通項(xiàng)公式

一般形如=f(n)的式子求通項(xiàng)公式，可利用累乘法求解.

例3：已知數(shù)列﹛an﹜滿足a1=，an+1=an，求an.

解：由條件知=，分別令n=1，2，3，…，（n-1），代入上式得(n-1)個(gè)等式并累乘之，即×××…×=×××…×?圯=.

由a1=，得an= .

利用待定系數(shù)法求通項(xiàng)公式

一般形如an+1=pan＋q（p、q為常數(shù)）的式子求通項(xiàng)公式，可用待定系數(shù)法求解.

例4：已知數(shù)列﹛an﹜滿足a1=1，且an+1=3an＋2，求an.

解：設(shè)an+1＋t=3(an＋t)，則an+1=3an＋2t?圯t=1.

由an+1＋1=3(an＋1)可知，﹛an＋1﹜是以a1＋1為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，所以an＋1=(a1＋1)#8226;3n-1=2#8226;3n-1，所以an=2#8226;3n-1－1.

利用除法求通項(xiàng)公式

一般形如an+1=pan＋qn+1（p、q為常數(shù)）的式子求通項(xiàng)公式時(shí)，可同除以qn+1，得=#8226;＋1，令bn=，從而化歸為bn+1=bn＋1（p、q為常數(shù)），然后再用待定系數(shù)法去求解.

例5:已知數(shù)列﹛an﹜滿足a1=1，an=3n＋2an-1 （n≥2），求an.

解：將an=3n＋2an-1 兩邊同除以3n，得=1＋=1＋×.

設(shè)bn=，則bn=1＋bn-1.令bn-t=(bn-1－t）?圯bn=bn-1＋t?圯t=3.條件可化成bn-3=（bn-1－3)，因此數(shù)列﹛bn－3﹜是以b1－3=－3=-為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.bn－3=-×（）n-1.因bn=，∴ an=bn3n=3n [-×（）n-1＋3]=3n+1－2n+2.

求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法靈活多樣，縱觀近年來(lái)高考中的典型試題，以上五種求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法比較常見(jiàn).另外，還可利用倒數(shù)法、對(duì)數(shù)法、分解因式法、數(shù)學(xué)歸納法求通項(xiàng)公式，其中最關(guān)鍵的是認(rèn)清遞推關(guān)系式的構(gòu)成，這樣便可以找到解題的正確途徑.

編輯：劉立英

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