再反思:一次函數與一元一次不等式

在省骨干教師培訓期間，培訓部組織了兩次聽課評課活動，其中一次就是由南昌大學附中袁老師上課，聽課后感受頗深。回校后，筆者也上了這節課，比較學生的表現，有些許感悟。

這節課，是在一次函數與一元一次方程的基礎上展開的，學生理解了一次函數與一元一次方程的關系，并初步有了用函數的觀點考查教學問題、解決教學問題的思想，但這種思想還是比較膚淺的。

這節課的教學目標是通過具體問題的考查，讓學生理解一次函數與一元一次不等式的關系，會用圖象求出一元一次不等式的解集，并初步形成用全面的觀點處理局部問題的思想。這節課的重點是一次函數與一元一次不等式關系的理解，難點是利用函數圖象確定一元一次不等式的解集。

構建這節課時，筆者首先提問下面兩個問題：（1）解不等式2x-4＞0。（2）當x為何值時，函數y=2x-4的值大于零。意在從數和形的角度，讓學生理解一元一次不等式與一次函數的關系，也即解不等式的問題，可以能化為函數問題來解決。在此基礎上，讓學生思考：如何利用圖象寫出不等式的解集？也即當函數值y＞0時，如何得到x的范圍？學生通過觀察圖象得出y＞0時，對應的圖象是一次函數y=2x-4的圖象在x軸上方的部分，從而寫出不等式2x-4＞0的解集，這就從新的角度考查了一元一次不等式與一次函數之間的關系。

為了突出一次函數與一元一次不等式的關系，突出本節課的數學本質，筆者還設計了下面兩個問題。

問題一：如圖1，是函數y=3x+6的圖象，根據圖象你能求出哪些不等式的解集？

問題二：如圖2，利用 的圖象，求出：

（1）方程 的解集。

（2）不等式 ＞0的解集。

（3）不等式 ≤0的解集。

（4）不等式 ＞5的解集。

在分析、思考、練習上面兩個問題的基礎上，筆者適時地引導學生進行總結，推廣到一般的一次函數與一元一次不等式之間的關系：

從數的角度看，不等式ab+b＞（a≠0）的解集x為何值時，y=ax+b的值大于0，從形的角度看。

不等式ax+b＞0（a≠0）的解集直線y＝ax+b在x軸上方部分所對應的x的取值范圍。

上面部分的設計和實施，是筆者這節課比較成功的地方，體現了這節課的教學目標，抓住了本節課的重點———理解一次函數與一元一次不等式的關系，尤其是對本節課的難點：如何根據一次函數的圖象確定不等式的解集進行了突破，學完這節課后，學生基本上能夠根據給出的圖象找出不等式的解集。

后面在分析例題（用畫函數圖象的方法解不等式5x+4＜2x+10）時，學生的表現還是不錯的，多數同學把不等式變形為3x-6＞0，然后畫出承數y=3x-6的圖象，再根據圖象寫出解集；少數同學建立了兩個函數關系：y1=5x+4，y2=2x+10，然后根據同一坐標系下y1、y2的圖象，寫出x的范圍。

對于本節課知識的學習，學生在思維上是有一定的障礙的，如：

（1）學生很難想到函數會和不等式有關系。

（2）既然一元一次不等式已經會解，而且有時候比用圖象來解要容易，為什么還要研究用圖象法來解一元一次不等式。

（3）用圖象法來解不等式，就要畫圖象，而畫圖象是有誤差的，從而得出的不等式的解集不夠準確。

對于問題（1）和（2），正是我們這節課所要解決的重點問題，教師在授課時要加強對學生的引導，通過一些具體的實例讓學生學會用函數的觀點去看待問題、分析問題，學會建立函數模型，解決問題，從而幫助學生實現從不等式到函數這樣一個思維的跳躍，實現觀點的升華。事實上，用函數觀點去考查一元一次方程或一元一次不等式，是從更高的角度、從整體的角度或者是全面的角度去思考，當賦予某個函數某個值或者部分值時，求出對應的自變量的值，就是方程或不等式的解，而這些解包含在自變量的取值范圍之中。

至于問題（3），一方面，需要教師指導學生規范、認真地畫圖象，并指出畫圖象時注意的地方，如長度單位的選取等；另一方面，可以借助計算機幫助學生解決問題，只要輸入一個函數解析式，就可以呈現一個準確的函數圖象。

為此，在上本節課時，教師一定要抓住數學的本質進行教學，要通過一些具體的情景、例子來實現本節課的教學目標，讓學生理解一次函數和一元一次方程的關系，進一步形成函數觀點。