淺談數學思維中的溯本求源法

【摘要】“溯其本，求其源”是解決數學問題最根本的方法。本文緊緊抓住這個聚焦點，研究如何啟迪學生思維，開發學生智力，培養學生自我發展能力，提高學生素質。實踐證明，這種方法是行之有效的，不但達到了預期的效果，而且使素質教育在數學教學中得到較好的落實。

一、揭示概念，溯本求源

運用概念解決問題時，學生通常不知從何處思考，針對這種情況，本文采取了以下三種方法引導學生。

（一）緊扣定義解決問題

例如：零是不是偶數？從學生接受知識的過程看，首先是在自然數的范圍內認識了2、4、6……這樣的偶數，沒有涉及零。當知識擴展到實數范圍內時，再讓學生判斷零是否事偶數，學生往往感到迷惑，這時要引導學生回顧什么是偶數？從偶數的定義——能被2整除的數是偶數上去判斷，學生掌握了這種方法就能迅速判斷出零是偶數，同時也學會了這類問題的解決方法。

（二）追溯概念的產生過程解決問題

例如：求函數y=x°、y=x-3中自變量x的取值范圍。學生在解決問題時，只記得非零數的零次冪等于1，但是零指數的底數為什么非零，負指數的底數又有什么要求，往往認識不清，這就要引導學生到零指數，負指數的產生過程中尋找答案。產生過程中是am÷an=am-n，當m=n時，產生零次冪；當m

（三）巧用概念來解決問題

例如：在一元二次方程中有這樣一個問題。已知：a，b是關于x的方程x2+3x+1=0的兩個根。求代數式a2+b2+3a+3b+5的值。

學生遇到這類問題往往只會運用根與系數的關系去求解。在繁瑣的計算機中很難得出正確的結果，有的同學望而生畏，有的學生百思不得其解。這時就要引導學生思考：什么是一元二次方程的根？一元二次方程的根又有什么特征？學生會自然想到根適合方程的情況。也就是a2+3a+1=0，b2+3b+1=0，再引導學生努力向這個方向轉化，于是把代數式向這個目標轉化

原式=（a2+3a+1）+（b2+3b+）+5-2

=0+0+3

=3

運用根的定義來解決問題，使復雜的問題簡單化，這正是溯本求源的妙用，也使學生嘗到“為有源頭活水來”的甜頭。

通過這類問題的訓練，使學生掌握解決問題要善于抓關鍵，找訣竅，認識到只要溯其本就能求其源。

二、轉化問題，溯本求源

有些生活中的實際問題，需要用數學知識來解決，學生往往只憑感性認識看問題，不能透過現象挖掘出數學問題的本質內涵。

例如：用同樣大小的正n邊形地板磚鋪地，要求磚與磚之間不留空隙，n可以取幾？

學生解決這個問題，只是根據生活中的經驗，見到過正四邊形，正六邊形的地板磚，至于n還可以取幾就無從著手了。原因在于生活問題轉化不到數學問題中來，這要引導學生去發現生活問題是運用數學中的什么知識，怎樣用數學知識解決這樣的問題。先看地板磚是什么形狀———正多邊形，再引導學生理解數學中研究的正多邊形有什么性質，地板磚鋪在地上不留空隙對邊角又有什么要求，進一步引導學生思考與邊角有關的正多邊形的性質有：（1）各邊相等；（2）各角相等且等于；（3）每個外角為。然后再讓學生動手做四個正五邊形鋪在一起留有空隙，再繼續分析問題是在邊上還是在角上。學生發現問題在角上后，繼續研究角，不留空隙就需m個角的內角和為360°，上升到數學理論上

即，滿足2n/n-2為整數的n就符合條件，這樣就找到了解決問題的根源。把問題再深化一步，讓學生思考：把一批形狀大小完全相同但不規則的四邊形或三角形來鋪地板可以不留空隙嗎？學生從實踐中得到證實，進而上升到理論層次。在學生的思維中還存在著這樣的偏差。例如：在一個伍分硬幣的周圍放置若干個伍分硬幣，使相鄰的伍分硬幣都外切，應放置幾枚硬幣？遇到這類問題，有的同學拿出伍分硬幣擺放，有的同學則畫出圖來解答。這雖是解決問題的一種方法，但是沒上升到數學理論上給予嚴謹的證明。這時教師可引導學生研究圓與圓相切的問題，用與圓相切的數學知識來解決問題。這類問題的訓練，既可培養學生的觀察力和分析力，又從根本上提高了學生解決生活問題的能力。

三、創設條件，溯本求源

有些幾何題目，條件和結論之間有一條不可逾越的鴻溝，這時教師可引導學生緊扣已知條件和求證內容展開聯想。

發現某一條件欠缺時，鼓勵學生大膽地創設條件，探索通向鴻溝彼岸的橋梁———輔助線。

例如：在任意三角形ABC中，求證 ，這是課本中的一道題。學生遇到這個題目時，往往感到莫名其妙，無從下手。原因在于條件與結論之間的距離太大。這時就要引導學生從問題的結論出發，研究的是關于三角函數的問題。三角函數的發源地在直角三角形中，而給出的條件卻是一般的三角形。離開直角三角形就不能解決這個問題。那就要想方設法創造直角三角形，如圖作三角形的高AD，BE。

在直角三角形ABD中，AD=c#8226;sinB；在直角三角形ACD中，AD=b#8226;sinC；所以c#8226;sinB=b#8226;sinC即 ，同理 ，所以。問題雖然解決了，但是是否還有更好的方法呢？教師可進一步引導學生，在圓中直徑對的圓周角也是直角，能否把問題放在圓中解決呢？這就把學生的思維由直線引向圓，讓學生自己動手去探索，結合三角形ABC的邊角有關知識應該作三角形ABC的外接圓。

作直徑CD連續BD，則∠DBC=90°∠D=∠A =2R，即 =2R，同理 2R，這樣不僅證明了，而且還能發現它們的比值是一個常數，這個常數就是△ABC的外接圓的直徑。

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