學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)思維品質(zhì)各因素之間是息息相關(guān)、互相滲透的.要培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，先決條件是充分地調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性和牢固地掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能.只有這樣，才能不斷培養(yǎng)和優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì).

一、一題多解，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性

思維的靈活性由思考者靈活運(yùn)用已有的知識(shí)和選擇最優(yōu)的思維方法所決定的.因此，在教學(xué)中教師要選擇典型的題目，鼓勵(lì)學(xué)生積極思考，引導(dǎo)他們多角度、多方位、多層次地觀察和思考問題，尋求多種解法，以培養(yǎng)思維的靈活性.

例1如圖1，折疊矩形紙片ABCD，先沿對(duì)角線折疊并展開得到折痕BD，再折疊使AD落在BD上并展開得折痕DG. 設(shè)點(diǎn)A落在BD上的點(diǎn)E處，連接GE，若AB=2，BC=1，求AG的長.

引導(dǎo)學(xué)生分析題意，尋找解題思路.學(xué)生根據(jù)對(duì)稱性，利用相似三角形及勾股定理給出了如下解法：由題意可知AG=EG，AD=ED=1，BD=■，故BE=■-1.由△ABD∽△EBG可得AG=GE=■即，AG的長為■.

解完后提問學(xué)生：能否運(yùn)用方程思想進(jìn)行求解？學(xué)生思考后有了下面的解法：設(shè)AG=x，由對(duì)稱性可知EG=x，因?yàn)锳B=2，故BG=2-x，BE=BD-DE=■-1=■-1.在Rt△BGE中，由勾股定理可得x2+(■-1)2=(2-x)2，解得x=■，即AG的長為■.

根據(jù)已知條件和圖形特征，再引導(dǎo)學(xué)生思考利用三角函數(shù)的知識(shí)來解.少頃，學(xué)生給出了如下解法：在Rt△ABD中，tan∠ABD=■=■，在Rt△GBE中，tan∠GBE=■，故■=■，故GE=■，又AG=EG，故AG=■.

根據(jù)圖形中有多個(gè)直角三角形這一條件，引導(dǎo)學(xué)生思考運(yùn)用面積法來解.結(jié)果學(xué)生又有了下面的解法：S△GBD=■BD·EG=■BG·AD，而BG=AB-AG，由此可解得AG=■.即AG的長為■.

數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行一題多解的訓(xùn)練，可變“就題論題”為“以題論法”，促使學(xué)生積極思考，發(fā)現(xiàn)多種解法，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性.

二、錯(cuò)解辨析，培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性

具有思維批判性的人，能客觀地衡量各種思維所依據(jù)的材料，并善于嚴(yán)格地檢驗(yàn)自己的假設(shè)，及時(shí)放棄錯(cuò)誤的想法以及與此有關(guān)的行動(dòng)，既不人云亦云，也不自以為是.在數(shù)學(xué)解題中，思維的批判性常常表現(xiàn)為有能力評(píng)價(jià)思路選擇的優(yōu)劣程度和答案的正確與否，并主動(dòng)進(jìn)行各種各樣的正誤檢驗(yàn)，善于發(fā)現(xiàn)和改正錯(cuò)誤，并找出錯(cuò)誤的根源.

例2如圖2，在正方形ABCD中，E、F分別是CD、DA上的點(diǎn)，且EF=AF+CE，求∠EBF的大小.

先讓學(xué)生求解，結(jié)果有相當(dāng)一部分學(xué)生這樣解：

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，故AB=BC，∠A=∠C=90°；又因?yàn)锳F=CE，故△ABF≌△CBE，故∠ABF=∠CBE=22.5°，故∠EBF=45°.

讓學(xué)生板書解題過程，然后指出這是個(gè)錯(cuò)誤的解法.引導(dǎo)學(xué)生分析原因，審視解題過程，發(fā)現(xiàn)AF=CE沒有依據(jù)，僅從圖形中觀察到AF與CE可能相等就錯(cuò)誤地把它作為已知條件，雖然結(jié)果恰好是正確的，但解題的過程存在明顯的漏洞.弄清原因后再讓學(xué)生求解.一會(huì)兒，學(xué)生給出了正確的解題思路：延長FA到G，使AG=CE，連接BG，如圖3所示，先證Rt△ABG≌Rt△CBE，再證△BGF≌△BEF，即可求得∠EBF=45°.

又如在學(xué)習(xí)“分解因式”時(shí)，許多學(xué)生都容易出現(xiàn)“分解不徹底”的錯(cuò)誤，教師可選取一些典型的題目讓他們練習(xí)，如把下列各式分解因式：（1）x4-1；（2）(m2+n2)2-4m2n2；（3）(7b+5b)2-(a-3b)2等.一定會(huì)有學(xué)生這樣分解：（1）原式=(x2+1)(x2-1)；（2）原式=(m2+n2+2mn)(m2+n2-2mn)；（3）原式=(8a-2b)(6a+8b)等.這時(shí)教師可要求學(xué)生仔細(xì)觀察上述結(jié)果并展開討論.在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)這些式子都還可以進(jìn)一步分解（讓學(xué)生寫出正確的答案）.

學(xué)生的思維批判性品質(zhì)是可以測定和培養(yǎng)的，如可編擬一些容易混淆的數(shù)學(xué)概念、似是而非的數(shù)學(xué)命題或解法錯(cuò)誤的試題等，讓學(xué)生去判別和糾正.

三、一題多變，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性

思維的深刻性是一種系統(tǒng)的理性思維，它表現(xiàn)為能從較窄的現(xiàn)象中，通過類比、歸納、概括等獲得較寬的新結(jié)論或新規(guī)律的思維品質(zhì).一題多變是指變換命題的條件、結(jié)論或命題本身，使之成為更有價(jià)值的新問題，從而應(yīng)用更多的知識(shí)來解決，以收到“一題多練”、“一題多得”的效果.

例3如圖4，AB是⊙O的直徑，∠A=30°，BC=5，則⊙O的半徑為____.

這是一道單元測試題，屬于基礎(chǔ)題，學(xué)生得滿分的很多.但僅僅滿足于此是不夠的，有必要在講評(píng)時(shí)作進(jìn)一步的深化.教師可提出以下問題供學(xué)生思考：

變式1：若AB不是⊙O的直徑，其它條件不變，則⊙O的半徑是_____.

問題一提出，有學(xué)生認(rèn)為，若AB不是⊙O的直徑，就不能構(gòu)成直角三角形了，半徑當(dāng)然就不是5了.這時(shí)教師可引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖（如圖5所示）來思考，進(jìn)而求得圓的半徑仍是5.

變式2：如圖4，若AB是⊙O的直徑，∠A=?琢，BC=a，則⊙O的半徑是____.

對(duì)于這一問題，學(xué)生馬上得出⊙O的半徑是■.

變式3：若AB不是⊙O的直徑，∠A=?琢，BC=a，則⊙O的半徑是____.

有了變式1的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生也很快得出⊙O的半徑是■.

接著教師可再進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生深化對(duì)上述問題的認(rèn)識(shí)：（1）通過上述問題的解決，你們學(xué)到了哪些方法？（2）從上述問題中，你們發(fā)現(xiàn)了什么？……

這樣的設(shè)計(jì)，既能使學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的生成、發(fā)展和變化的過程，加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的理解和掌握，又能提高學(xué)生“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”的能力，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性.

四、標(biāo)新立異，培養(yǎng)學(xué)生思維的獨(dú)創(chuàng)性

思維的獨(dú)創(chuàng)性主要反映在面對(duì)新異情況或困難，采取獨(dú)特、新穎的對(duì)策解決問題.這種思維具有舒展、活躍、善變的特點(diǎn)，因此它是智力發(fā)展的高級(jí)表現(xiàn).初中學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，只要有點(diǎn)新思想、新見解、新設(shè)想、新做法，都可認(rèn)為具有思維的獨(dú)創(chuàng)性.

如試用學(xué)過的知識(shí)比較x和■的大小.對(duì)于本題，若采用“作差比較法”或“作商比較法”來解，則過程比較繁瑣.這時(shí)可引導(dǎo)學(xué)生思考比較簡便的解法.過了一會(huì)兒，一部分學(xué)生想出了一種新穎的解法——數(shù)形結(jié)合法.即在同一直角坐標(biāo)系中分別作出y=x和y=■的圖像，則x和■的大小就一目了然了..

又如在解方程x+■=3時(shí)，當(dāng)學(xué)生用常規(guī)方法（將左邊的x移到右邊后用平方法求解）解完后，可引導(dǎo)學(xué)生思考新穎的解法，啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想算術(shù)平方根的意義及非負(fù)數(shù)的性質(zhì).結(jié)果有一些學(xué)生給出了如下新解法：移項(xiàng)，得■=-(x-3)，因?yàn)橹挥?的算術(shù)平方根才是它的相反數(shù)，所以x-3=0，即x=3，故原方程的解是x=3（不必檢驗(yàn)）.

責(zé)任編輯羅峰

“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”