例析遞推數(shù)列通項(xiàng)求法

有關(guān)遞推數(shù)列通項(xiàng)的求解問題，是考試的熱點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)．本文精選幾例，加以歸類解析，旨在探討解題規(guī)律，揭示解題方法．

題型一遞推關(guān)系式為an+1=pan+q(p，q為常數(shù)，且p≠1)型

分析：這種類型的遞推數(shù)列，可由待定系數(shù)法將上述遞推公式寫成an+1+t=p(an+t)，則有pt-t=q，可得t=■，故數(shù)列an+■是以p為公比的等比數(shù)列，然后再進(jìn)一步求an．

例1若數(shù)列an的前項(xiàng)n和為Sn，對(duì)于任意的n∈N■*，都有Sn=2an-3n，試求數(shù)列an的通項(xiàng)an．

解：令n=1，則S1=a1 =2a1-3，

∴a1=3

又Sn+1=2an+1-3(n+1)①，

Sn=2an-3n②

兩式相減得an+1=2an+1-2an-3，

∴an+1=2an+3

可由待定系數(shù)法設(shè)上式等價(jià)于an+1+t=2(an+t)，則有t=3

∴{an+3}是以公比為2的等比數(shù)列，其首項(xiàng)為a1+3=6，

∴an+3=(a1+3)2n-1=6×2n-1=3×2n

∴an=3(2n-1).

題型二 遞推關(guān)系式為a?琢n+1=pa■(p＞0)型

若p=1，則等式兩邊取常用對(duì)數(shù)或自然對(duì)數(shù)，化為：?琢lgan+1=p?茁lgan，得到首項(xiàng)為lga1，公比為■的等比數(shù)列{lgan}，所以lgan=(■)n-1lga1，得an=a1■■.

若p≠1，則等式兩邊取以p為底的對(duì)數(shù)得：?琢lgpan=?茁lgpan-1+1，這就轉(zhuǎn)化為題型一求通項(xiàng)的形式．

例２已知a1=2，點(diǎn)(an，an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖像上，其中n=1，2，3，….求數(shù)列{an}的通項(xiàng).

解：由已知可得an+1=a■+2an

∴an+1=(an+1)2-1，即an+1+1=(an+1)2

∵a1=2，∴an+1＞1

于是兩邊取對(duì)數(shù)得lg(an+1+1)=2lg(an+1)， 即■=2

∴數(shù)列{lg(an+1)}是以首項(xiàng)為

lg(a1+1)=lg3，公比為2的等比數(shù)列.

∴l(xiāng)g(an+1)=2n-1lg3=lg32■

∴an+1=32■

∴an=32■-1.

題型三 遞推關(guān)系式為an+ 2=pan +1+qan(p，q為常數(shù)) 型

分析：這種類型的遞推數(shù)列，可用待定系數(shù)法將原遞推式an+ 2=pan +1+qan寫成an+ 2-Aan+ 1=B(an +1-Aan)，即an+ 2=(A+B)an+ 1-ABan，則有A+B=p，AB=-q，于是由韋達(dá)定理構(gòu)造一元二次方程解出A、B，便可得數(shù)列{an+ 1-Aan}是以B為公比的等比數(shù)列，即可轉(zhuǎn)化為前面的題型求通項(xiàng)的形式．

例３已知數(shù)列{an}中，a1=1，a2=2，an+ 2=an+ 1+6an，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an．

解：設(shè)an+ 2=an+ 1+6an可化為an+ 2-Aan+ 1=B(an+ 1-Aan)，

則有A+B=1AB=-6，于是A、B為方程x2-x-6=0的兩根，

解得A=3B=-2或A=-2B=3，

于是當(dāng)A=3，B=-2時(shí)，an+2-3an+1=

-2(an+1-3an)，則數(shù)列{an+1-3an}是以首項(xiàng)為a2-3a1=2-3=-1，公比為-2的等比數(shù)列，

∴an+1-3an=-(-2)n-1①

同理當(dāng)A=-2，B=3時(shí)：an+2+2an+1=3（an+1+2an），于是亦可求得：

an+1+2an=4×3n-1 ②

由①②兩式相減得：5an=4×3n-1+(-2)n-1

即an=■×3n-1+■×(-2)n-1．

責(zé)任編輯羅峰

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