在探究學習中注重發展學生的數學思維

《 數學課程標準 》中強調，學生的數學學習活動不應該只限于接受、記憶、模仿和練習，還應該強調自主探究、動手實踐、合作交流、閱讀自學等，這都是學習數學的重要方式之一，這些方式有助于發揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下，對知識的發現、猜想、探索、驗證、分析解決和評價、創造的過程。

在數學問題中有一類與“存在性”有關的問題，如在任意的367名學生中，一定存在兩名學生他們在同一天過生日。在這類問題中，只需要確定某個物體（或某個人）的存在就可以了，并不需要指出是哪個物體（或哪個人），也不需要說明通過什么方式把這個存在的物體（或人）找出來。解決這類問題的依據我們稱為“抽屜原理”。“數學廣角”是人教版六年級下冊第五單元的內容，該單元通過幾個直觀的例子，借助實際操作，向學生介紹“抽屜原理”。使學生在理解“抽屜原理”這一數學方法的基礎上，對一些簡單的實際問題加以“模型化”，會用“抽屜原理”加以解決。

“抽屜原理”看似簡單，但因為其實質是揭示了一種存在性，比較抽象，要讓小學生建構起自己的實質性理解，還是很有挑戰性的。對“總有一個抽屜里放入的物體數至少是多少”這樣的表述，學生不易理解，教學中學生也很難用“總有”“至少”這樣的語言來陳述。

如何在實際教學中正確把握和處理“數學廣角”中這一全新的教學內容，正確運用教學方法，讓學生的數學思維在探究學習中得到發展？我在進一步研讀《 數學課程標準 》及人教版實驗教材全冊的基礎上，對“數學廣角——抽屜原理”的教學內容、教學目標等進行了梳理與分析，并結合在覃塘區數學課堂教學比賽參賽課《 抽屜原理 》中的課堂教學實踐談談對“抽屜原理”教學的一些思考。

一、注重情境創設，激發學生學習興趣

創設切合學生認知特點的情境，激發學生的學習興趣，激起學生探究新知的學習欲望。例如教師準備了4把椅子，請5位同學上來，喊“開始”時，5位同學必須都坐到椅子上，讓學生在游戲中體驗不管怎么坐，總有一把椅子上至少要坐著兩個同學，使學生明確這是現實生活中存在著的一種現象，讓學生在已有生活經驗的基礎上初步感知抽象的“抽屜原理”，并為下面的探究活動起到了很好的鋪墊作用。

二、注重直觀操作，經歷探究過程

課程標準要求數學學習應注重讓學生經歷“數學證明”的過程。在小學階段，雖然并不需要學生對涉及“抽屜原理”的相關現象給出嚴格的證明，但仍可引導學生用直觀的方式進行“就事論事”式的解釋。教學時可以鼓勵學生借助學具、實物，通過操作或畫草圖的方式進行“說理”，既有助于逐步提高學生的邏輯思維能力，又為以后學習較嚴密的數學證明做了準備。

1．采用操作的方法枚舉“抽屜原理”的存在現象

例1：把4支鉛筆放在3個文具盒里，不管怎么放，總有一個文具盒里至少放進2支鉛筆。為什么？

通過直觀地擺鉛筆，讓學生動手操作、畫圖，發現把4支鉛筆分配到3個文具盒中一共只有四種情況，即（4，0，0），（3，1，0），（2，2，0），（2，1，1），引導學生理解“不管怎么放”“總有一個”“至少”的含義。

“抽屜原理”對于小學生來說，比較抽象，特別是“總有一個文具盒中至少放進2支鉛筆”這句話的理解。所以通過具體的小組合作操作，列舉所有的情況后，引導學生直接關注到每種分法中數量最多的文具盒，理解“總有一個文具盒”以及“至少2支”。讓學生初步經歷“數學證明”的過程，讓學生在這個連續的過程中初步感知方法的優劣，發展了學生的類推能力，形成比較抽象的數學思維。

2．采用“假設法”證明“抽屜原理”存在的一般性

假設法最核心的思路就是把筆盡量多地“平均”分給各個抽屜，看每個抽屜能分到多少支筆，剩下的筆不管放到哪個抽屜，總有一個抽屜比平均分得的筆數多1支。在操作過程中要讓學生體會到“平均分”即是為了突出“最不利情況”，如假設先在每個文具盒中放1支鉛筆，3個文具盒里就放了3支鉛筆。還剩下1支，放入任意一個文具盒，那么這個文具盒中就有2支鉛筆了，即“為什么把（n＋1）支鉛筆放進n個文具盒，總有一個文具盒里至少放進2支鉛筆”這個一般性的結論。

通過猜想、動手操作、發現、推理、驗證等活動，讓學生在經歷“抽屜原理”的“數學證明”的過程中，鼓勵學生積極地自主探索，尋找不同的證明方法，學生意識到了要考慮最少的情況，從而引出假設法滲透平均分的思想，去發現并理解“不管怎么放”“總有一個”“至少”的規律，讓學生在自主探索中體驗成功，獲得數學思維的發展。

三、注重規律揭示，培養“建模”思想

數學建模是一種數學的思考方法，是運用數學的語言和方法，通過抽象、簡化，建立近似刻畫并解決實際問題的一種強有力的數學手段。

“抽屜問題”的變式很多，應用更具靈活性。但能否將具體問題和“抽屜問題”聯系起來，能否找到問題中的具體情境和“抽屜問題”的“一般化模型”之間的內在關系，是能否解決該問題的關鍵。教學時，要引導學生先判斷某個問題是否屬于用“抽屜原理”可以解決的范疇，如果可以，再思考如何尋找隱藏在其背后的“抽屜問題”的一般模型。

例2：把5本書放進2個抽屜里，不管怎么放，總有一個抽屜至少放進3本書。7本呢？9本呢？

教材提供了讓學生把5本書放進2個抽屜的情境，在操作的過程中，學生發現不管怎么放，總有一個抽屜至少放進3本書，從而產生探究原因的愿望。學生仍然可以采用枚舉的方法，把5分解成兩個數，有（5，0），（4，1），（3，2）三種情況。在任何一種結果中，總有一個數不小于3。更具一般性的仍然是假設的方法，即先把5本書“平均分成2份”。利用有余數除法5÷2=2……1可以發現，如果每個抽屜放進2本，還剩1本。把剩下的這1本放進任何一個抽屜，該抽屜里就有3本書了。

在例1和做一做的基礎上，學生會用平均分的方法解決“至少”的問題，將證明過程用有余數的除法算式表示，從余數1到余數2，讓學生再次體會要保證“至少”必須盡量平均分，余下的數也要進行二次平均分，為發現結論與商和余數的關系做好鋪墊。

研究了“把5本書放進2個抽屜”的問題后，教材又進一步提出“如果一共有7本書，9本書，情況會怎樣？”的問題，讓學生利用前面的方法進行類推，得出“7本書放進2個抽屜，總有一個抽屜至少放進4本書，9本書放進2個抽屜，總有一個抽屜至少放進5本書”的結論。

在此基礎上，讓學生觀察這幾個“抽屜問題”的特點，尋找規律，使學生對這一類“抽屜原理”達到一般性的理解。讓學生在概括提煉中建立模型，發現數學的規律建立解決這類問題的一般方法——用 “有余數除法”的計算來解決平均分問題，進而關注商和余數的情況，學生的數學思維再一次得到發展。

四、注重知識應用，提高數學思維

學生經歷了探究“抽屜原理”的過程，通過猜想、動手操作、發現、推理、驗證等活動，初步了解“抽屜原理”，并能夠應用于實際。但是“抽屜原理”的應用廣泛且靈活多變，因此，用“抽屜原理”來解決實際問題時，有時要找到實際問題與“抽屜問題”之間的聯系并不容易。因此，教學時，不必過于追求學生“說理”的嚴密性，只要能結合具體問題把大致意思說出來就可以了，更要允許學生借助實物操作等直觀方式進行猜測、驗證，學會思考數學問題的方法，培養學生的數學思維，才能達到《 數學課程標準 》的規定：“要從學生已有的生活經驗出發；讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展。”

（作者單位：貴港市覃塘區三里鎮中心小學，廣西 貴港，537000）