數學理解的六種維度觀及其啟示

　　一直以來，數學學習強調理解，理解是學好數學的關鍵。很多研究者對數學理解的內涵進行了深入的分析，也提出了數學理解的不同類型。縱向的水平反映了數學理解的深度，橫向的維度刻畫了數學理解的多樣性，它們結合在一起可以共同表現學習者對數學理解的真實狀態。美國課程研究專家格蘭特·威金斯(Grant Wiggins)和杰伊·麥克泰(Jay McTighe)提出了理解的六種維度：解釋、釋義、應用、洞察、移情、自知。本文將在這六種維度的基礎上提出數學理解的六種維度，并探討數學理解的六種維度觀對我們深入認識數學理解及改進數學教學所帶來的幾點啟示。
　　
　　一、數學理解的六種維度
　　
　　1.解釋說明
　　解釋說明維度是指學習者能對某一數學問題進行完善合理的論證和說明，即能對數學概念、公式、定理進行本質的理解。解釋說明的過程就是要學生回答“是什么，為什么，應如何”這一類的問題。
　　數學理解的解釋說明不僅在于陳述數學事實，同時還應說明“為什么”和“怎么樣”。如平面幾何中有一條基本定理：“內錯角相等，兩直線平行”，學生不僅要知道為什么這條定理是成立的，還要知道如何運用定理，在什么情況下運用這條定理，如果學生不能做到這點，說明它還沒有理解定理的本質，也就沒有達到數學理解的這一維度。
　　
　　2.自我闡釋
　　自我闡釋維度是學習者能通過自己的語言來揭示數學事實的意義，是學習者對數學獨特的個體性理解。自我闡釋的過程就是要學習者回答這樣一些問題：問題的意義是什么?重點是什么?與以前的知識有什么聯系?也即通過講述來表達數學事實背后的意義。
　　理解性的自我闡釋需要揭示數學事實的意義。通過對數學事實意義的描述，可以促成學生對某一特定數學對象的理解與洞察。很多數學對象的意義總是隱藏在事實的背后，總是抽象而不易察覺的，一般來說學習者很難理解這些抽象而又晦澀的信息。自我闡釋的目的就是要學習者轉換數學對象的表征方式，通過比較、類比、歸納、演繹、分析、綜合等多種加工方式來發現并揭示出數學對象背后的意義，以期達到理解的這一維度。
　　
　　3.應用遷移
　　應用遷移是數學理解的第三個維度。數學理解的應用遷移是指能用數學知識進行創造性思維，提出新穎的思想方法和熟練的數學技能去解決學習和生活中的問題。在應用過程中，學習者要回答以下這些問題：所學的數學知識和技能用在何處?如何用?
　　首先，理解性的應用遷移需要把數學知識與具體情境相結合，使兩者相一致。這里所謂的應用遷移不同于數學知識本身或數學知識的簡單運用。要達到理解性的運用，學生應能在無任何提示的幫助下來運用知識，并且他們所面臨的問題是全新的，或者面對的是真實世界的問題。例如要求學生搜索有關數據，估算一下我國2009年18歲的人口數?測量本校教學樓的高度?
　　其次，理解性的應用還需要對原有的數學知識進行創新。瑞士兒童心理學家皮亞杰指出：學生的理解是通過他們應用知識過程中的創新表現出來的。理解性的應用要求超越常規方式，從多個視角，運用多種方法和多種策略來解決問題。事實上，學生只有通過對數學知識進行再創造，才能真正內化042d3ab3fefcadc0780adf73f66805f5c36c9b22792313ac476955540403e1cc知識，為自己所理解，在行為上表現出靈活地運用知識于新的情境，解決現實問題。
　　
　　4.批判洞察
　　批判洞察是數學理解的第四個維度。能夠進行批判洞察的學生有著一種對數學知識極深刻的理解，他們能夠透過問題的表面看到其內在本質，賦予一些常規的數學思想以新的意義。這是一種頗具創新力度的理解，是一種需要通過努力才能獲得的能力。
　　加德納認為深入理解的一個重要特征在于運用多種不同的方式來呈現某個問題，并從多個角度用不同的方法進行解決。具有洞察力的學生往往能夠注意到別人經常不以為然、容易忽略的細節，更容易批判性地看待每個問題。他們經常會提出這樣的問題：從另外一個角度怎么看這個數學問題?這個數學問題有沒有其他的變化形式?這個問題的結論是否正確，能否對結論進行推廣?這種解法是否合理，能不能簡化，還有沒有其他的解法?我們在數學教學中提倡的簡化條件、推廣結論、一題多變、一題多解、多題歸一等就能夠很好地培養學生的批判洞察能力。
　　
　　5.移情體驗
　　移情體驗是數學理解的第五個維度，是指一種能深入體會他人的感情和觀點的能力。數學理解不僅涉及認知方面，還表現在情感上。從這個意義上講，在數學學習中我們要達到理解，必須做到兩個方面。一是要尊重他人的觀點，在心理上容許他人對數學問題有不同的看法。哪怕他人的思想和方法看起來沒有自己合理，也要注意吸收其中的優點，因為任何一種解決數學問題的思想和方法都有其可取的地方。如勾股定理的證明方法就有多種，有些簡潔，有些繁瑣，但都體現了不同的數學思想和方法，每一種思想和方法對我們都有啟迪，可以開闊我們的視野，拓寬看待問題的角度。數學理解中的移情體驗維度反映了數學學習的社會性特征。反映了學習者在建構對數學理解的過程中群體交互的支撐、互助力量。這種力量根植于學習者對他人觀點的反思和深刻洞察，并基于此對自身經驗進行反省和改進。二是要深刻領會數學家在數學的創造發明過程中經歷的矛盾、困惑直至成功的心理過程，深層次感受重要數學思想發展背后內隱的創新魅力和價值，從而超越表層理解而達到一種深層次的理解。
　　
　　6.自我反思
　　自我反思是數學理解極為關鍵的一個維度，是一種抽象的思維活動，一種不斷的反復思考。它要求學習者對數學學習思維活動的過程進行回顧性的思索，思考領悟數學活動中所涉及的知識、方法、思路、策略等，從而提煉經驗、總結教訓，使認識逐步深化或得到新的思考問題的起點，并達到調整和完善數學認知結構的目的。反思還能夠理智地認識到自己思維與行為模式的優勢和局限性，能明確地辨別并避免由于自己的偏見、習慣、思維或行為方式等帶來的誤解。反思要求學習者不斷回答以下問題：我是如何想的，如何思維的，用了哪些數學思想、方法、技巧?我的理解存在哪些局限性?我的不足之處在哪里?我對什么容易產生誤解?從而進一步洞察數學理論的本質，領會數學思想的精髓，以達到高層次的理解。
　　
　　二、啟示
　　
　　數學理解的六個維度從多個角度闡明了什么是數學理解，學生實現數學理解時應有何種表現。這六種維度觀對我們深入認識數學理解，改進數學教學提供了一些有益的啟示。
　　
　　1.數學理解要求認知與情感協調統一
　　一般來說，教師眼中的數學理解就是能真正領會數學知識，掌握數學知識的本質內涵，并能運用數學知識解決實際問題。從這里我們可以看出，他們所謂的理解只限于數學認知領域，而忽略了情感方面的因素。根據數學理解的六種維度觀，數學理解不僅包含認知領域(解釋說明、個體闡釋、應用遷移)，還包含情感領域(批判洞察、移情體驗、反思明辨)。數學理解的六個維度體現了認知與情感的協調統一，認知中滲著情感，情感中帶有認知。
　　
　　2.教師應全方面考察學生的數學理解
　　依據數學理解的六種維度觀，我們知道對數學的理解是一種多維度、復雜的東西，成熟的理解包括了這六個維度的高度發展。有研究表明，即使學生給出了一個數學問題表面看來是完美的解答，這也不表明學生完全理解了其中相關的數學，有的可能只是學生的一種記憶與模仿。因此，教師在考察學生對數學的理解時，應多角度地進行考察，而不只是根據學生對問題的答案來確定他是否理解。
　　
　　3.注重數學交流
　　在教學過程中，教師應注重數學交流。通過數學交流，教師可以發現學生理解的過程，理解的深刻程度，有沒有獨到的見解，存在的問題是什么，以及存在這些問題的原因在哪里。學生也可以通過交流重新認識、思索哪些理解得不是很透徹，哪些理解出現了偏差，自己的理解與別人的理解有什么不同，別人的優點在哪里，這樣就可以達到數學理解的批判洞察和移情性體驗維度。
　　
　　4.數學課堂應實施理解性教學
　　數學課堂教學的三維目標是知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀。數學理解的六種維度觀為我們在數學課堂實施理解性教學，實現數學課堂教學目標提供了理論基礎和實踐指導。教師在設計教學活動、明確學習目標、評價學習表現時，應考慮這些多樣化的維度，運用不同的標準，構建理解性的數學課堂，凸顯理解在數學教學中的核心地位，營造一個為理解而教，為理解而學的數學教學氛圍。
　　
　　參考文獻
　　[1]馬復，試論數學理解的兩種類型，數學教育學報，2001(3)
　　[2]李士綺PME·數學教育心理，上海：華東師范大學出版社，2001
　　
　　(責任編輯　劉永